梯度下降算法导读：用登山比喻理解最优化与下降技巧

2024-02-09 16:21:11

在优美的自然风光中，我们可以看到山脉起伏不定，有陡峭的悬崖，也有平缓的山坡。如果想从山顶到达山脚，我们可以选择不同的路径，有的路径崎岖难行，有的路径却平坦顺畅。那么，如何找到最优路径，在最短的时间内到达山脚呢？这就是梯度下降算法要解决的问题。

下山比喻理解最优化与下降技巧

梯度下降算法是一种最优化算法，它模拟了我们在山地中的行走过程。我们可以把目标函数想象成一座山，山顶是目标函数的最大值，山脚是目标函数的最小值。我们的目标是找到一条最优路径，从山顶走到山脚。

在梯度下降算法中，我们首先需要确定一个初始点，然后计算在这个初始点处的梯度。梯度是指函数值随自变量变化率的向量，它表示函数在该点处的变化方向。接下来，我们沿着梯度的反方向前进，找到一个新的点，在这个新点处再次计算梯度，并继续前进。如此反复，直到我们到达山脚，即找到目标函数的最小值。

数学推导理解梯度下降算法

梯度下降算法的数学原理并不复杂，它基于以下公式：

x_new = x_old - α * ∇f(x_old)

其中，x_new是新的点，x_old是旧的点，α是学习率，∇f(x_old)是目标函数在x_old处的梯度。

学习率α控制着梯度下降算法的步长。如果α太小，那么算法会收敛得很慢；如果α太大，那么算法可能会越过最小值，无法找到最优解。因此，选择合适的学习率非常重要。

代码实现梯度下降算法

梯度下降算法可以很容易地用代码实现。以下是一个简单的Python实现：

def gradient_descent(f, x0, alpha, num_iters):
    """
    梯度下降算法

    参数：
        f: 目标函数
        x0: 初始点
        alpha: 学习率
        num_iters: 迭代次数

    返回：
        x: 最优解
    """

    x = x0
    for i in range(num_iters):
        grad = calculate_gradient(f, x)
        x = x - alpha * grad

    return x


def calculate_gradient(f, x):
    """
    计算梯度

    参数：
        f: 目标函数
        x: 点

    返回：
        grad: 梯度
    """

    h = 1e-5
    grad = np.zeros_like(x)
    for i in range(len(x)):
        x_plus_h = x.copy()
        x_plus_h[i] += h
        x_minus_h = x.copy()
        x_minus_h[i] -= h
        grad[i] = (f(x_plus_h) - f(x_minus_h)) / (2 * h)

    return grad