1728. 猫和老鼠 II：博弈论 DP 难题攻克

1728. 猫和老鼠 II 是 LeetCode 上一道困难难度的题目，标签涵盖「博弈论」、「动态规划」和「记忆化搜索」。

故事发生在一个猫和老鼠玩耍的环境中，游戏规则如下：

• 猫和老鼠都在一个 n x m 的网格上，网格上有一些空方格和一些障碍。
• 猫和老鼠轮流移动，猫先动。
• 每次移动，猫或老鼠可以选择上下左右四个方向之一移动一格，如果遇到障碍则无法移动。
• 猫和老鼠不能同时占据同一个方格。
• 猫的目标是抓住老鼠，老鼠的目标是逃到洞穴。
• 如果猫抓住了老鼠，则游戏结束，猫获胜。
• 如果老鼠逃到了洞穴，则游戏结束，老鼠获胜。

在这场猫鼠追逐游戏中，双方都需要斗智斗勇，合理运用策略才能取得胜利。我们可以借助「博弈论」的思想来分析游戏过程中的决策，并使用「动态规划」和「记忆化搜索」来求解问题。

博弈论

博弈论是一门研究理性决策者之间战略互动的数学理论。在猫和老鼠的游戏中，猫和老鼠都是理性决策者，他们都会根据自己的目标和当前局势做出最优决策。

为了分析猫和老鼠的游戏过程，我们可以将游戏抽象成一个博弈树。博弈树的每个节点代表一个游戏状态，节点的子节点代表从该状态可以采取的行动。博弈树的叶子节点代表游戏结束的状态。

在博弈树中，猫和老鼠交替移动，直到游戏结束。猫的目标是找到一条从根节点到叶子节点的路径，使得猫在路径上的每一个节点都能抓住老鼠。老鼠的目标是找到一条从根节点到叶子节点的路径，使得老鼠在路径上的每一个节点都能逃到洞穴。

动态规划

动态规划是一种解决优化问题的常用方法。动态规划的基本思想是将问题分解成一系列子问题，然后从子问题的最优解出发，逐步求出整个问题的最优解。

在猫和老鼠的游戏中，我们可以将游戏分解成一系列子问题。每个子问题对应一个游戏状态，子问题的最优解是猫或老鼠在该状态下能做出的最优决策。

例如，我们可以将游戏状态表示为一个二元组(x, y)，其中 x 和 y 分别表示猫和老鼠的当前位置。子问题的最优解可以表示为一个三元组(x, y, z)，其中 z 表示猫或老鼠在该状态下能做出的最优决策。

记忆化搜索

记忆化搜索是一种优化动态规划的方法。记忆化搜索的基本思想是将子问题的最优解存储起来，当再次遇到相同子问题时，直接返回存储的解，而不需要重新计算。

在猫和老鼠的游戏中，我们可以使用记忆化搜索来优化动态规划算法。我们可以将子问题的最优解存储在一个哈希表中，当再次遇到相同子问题时，直接从哈希表中查找并返回解，而不需要重新计算。

总结

1728. 猫和老鼠 II 是 LeetCode 上一道困难难度的题目，标签涵盖「博弈论」、「动态规划」和「记忆化搜索」。

我们可以借助「博弈论」的思想来分析游戏过程中的决策，并使用「动态规划」和「记忆化搜索」来求解问题。

通过将游戏抽象成一个博弈树，我们可以分析猫和老鼠的决策过程。通过将游戏分解成一系列子问题，我们可以使用动态规划来求解问题。通过使用记忆化搜索，我们可以优化动态规划算法。

希望这篇文章对您有所帮助。如果您对「博弈论」、「动态规划」或「记忆化搜索」有任何疑问，欢迎在评论区留言。