二分搜索算法：在有序数组中找到目标值的最佳实践

算法原理

二分搜索算法是针对有序数组设计的有效查找算法。其核心思路是通过不断将搜索范围对半分，来快速逼近目标值所在的位置。

实现步骤

1. 初始化搜索范围： 将数组的首尾索引分别设为 left 和 right。
2. 查找中点： 计算中点索引 mid = (left + right) // 2。
3. 比较目标值与中点值：
   • 如果 nums[mid] == target，则找到目标值，返回 mid。
   • 如果 nums[mid] < target，则目标值在右侧，将 left 更新为 mid + 1。
   • 如果 nums[mid] > target，则目标值在左侧，将 right 更新为 mid - 1。
4. 重复步骤 2-3： 继续缩小搜索范围，直到 left > right。
5. 返回插入位置： 此时，left 即为目标值应被插入的位置。

边界条件

边界条件对于二分搜索算法的正确性至关重要：

• 如果 left > right，则目标值不存在于数组中，返回 left。
• 在更新 left 和 right 时，要确保 left <= right。
• 循环结束时，left 和 right 可能相等，这表示找到目标值或找到插入位置。

实用技巧

高效处理边界条件：

• 使用 while left <= right 循环，确保在找到目标值或插入位置时停止循环。
• 对于不存在的目标值，在循环结束后返回 left。

优化性能：

• 避免使用浮点数，取而代之的是整数除法 (left + right) // 2。
• 在某些情况下，可以用哨兵值（例如最大或最小整数）扩展数组，以简化边界条件。

扩展应用

二分搜索算法不仅限于寻找目标值，还可用于解决以下问题：

• 查找第一个大于或等于目标值的位置： 在找到目标值或插入位置后，继续搜索右侧部分，直至找到第一个大于等于目标值的位置。
• 查找最后一个小于或等于目标值的位置： 在找到目标值或插入位置后，继续搜索左侧部分，直至找到最后一个小于等于目标值的位置。

优势和局限性：

优势：

• 查找效率高，时间复杂度为 O(log n)。
• 易于实现和理解。

局限性：

• 要求数组是有序的。
• 对于非常大的数组，递归实现可能会导致栈溢出。

总结

二分搜索算法是一种高效且实用的查找算法，广泛应用于各种场景中。通过掌握其原理、边界条件和实用技巧，你可以熟练运用该算法解决有序数组中的查找和插入问题。