动态规划详解王国挖矿问题：收益最大化挖矿策略揭秘

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2024-01-27 21:35:17

深入王国挖矿问题

假设我们有 10 个工人和 5 个金矿，每个金矿都有其独特的收益和所需工人数量：

金矿 1：收益 400kg，需要 5 名工人
金矿 2：收益 500kg，需要 5 名工人
金矿 3：收益 200kg，需要 3 名工人
金矿 4：收益 300kg，需要 4 名工人
金矿 5：收益 350kg，需要 3 名工人

我们的目标是找出最优挖矿策略，最大化总收益。为了实现这一目标，我们引入动态规划的思想。动态规划是一种解决复杂问题的技术，通过将问题分解成更小的子问题，逐步求解，最终获得问题的整体解决方案。

采用动态规划解题

动态规划的思想如下：

将大问题分解为更小的子问题，这些子问题更容易解决
逐一解决子问题，并存储结果
使用子问题的解来逐步解决大问题

在王国挖矿问题中，我们可以将问题分解为以下子问题：

如果我们只有 1 名工人，他能挖哪个金矿来实现最大收益？
如果我们只有 2 名工人，他们能挖哪个金矿来实现最大收益？
...
如果我们有 10 名工人，他们能挖哪个金矿来实现最大收益？

子问题的递归关系

每个子问题都可以用递归的方式表达为：

f(n) = max(f(n-1) +收益, f(n-所需工人)),

其中：

f(n)表示前 n 名工人的最大收益
f(n-1)表示前 n-1 名工人的最大收益
收益表示当前金矿的收益
所需工人表示当前金矿所需的工人数量

动态规划表

我们可以使用动态规划表来记录子问题的解。动态规划表的第 i 行第 j 列表示前 i 名工人挖前 j 个金矿的最大收益。

+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
|          | 金矿 1  | 金矿 2  | 金矿 3  | 金矿 4  | 金矿 5  | 金矿 6  |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 工人 1  | 400      | 500      | 200      | 300      | 350      | 0        |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 工人 2  | 800      | 1000     | 400      | 600      | 700      | 0        |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 工人 3  | 1200     | 1500     | 600      | 900      | 1050     | 0        |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| ...      | ...      | ...      | ...      | ...      | ...      | ...      |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 工人 10 | 4000     | 5000     | 2000     | 3000     | 3500     | 0        |
+----------+----------+----------+----------+----------+----------+----------+

动态规划算法

我们从动态规划表的最后一列开始，逐行递推，计算每行每列的最大收益：

1. 动态规划表的第一行：

f(1, 1) = max(0, 400) = 400
f(1, 2) = max(400, 500) = 500
f(1, 3) = max(500, 200) = 500
f(1, 4) = max(500, 300) = 500
f(1, 5) = max(500, 350) = 500

2. 动态规划表的第二行：

f(2, 1) = max(400, 800) = 800
f(2, 2) = max(800, 1000) = 1000
f(2, 3) = max(1000, 400) = 1000
f(2, 4) = max(1000, 600) = 1000
f(2, 5) = max(1000, 700) = 1000

3. ...

4. 动态规划表的第十行：

f(10, 1) = max(4000, 0) = 4000
f(10, 2) = max(4000, 5000) = 5000
f(10, 3) = max(5000, 2000) = 5000
f(10, 4) = max(5000, 3000) = 5000
f(10, 5) = max(5000, 3500) = 5000