解读Kruskal算法的奥秘：最简方式得到最小生成树

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2023-10-14 15:20:52

探索 K 路算法：连接万物的贪心之术

在计算机科学的广阔天地中，图论扮演着举足轻重的角色，而图论算法更是众多领域不可或缺的利器。今天，我们将深入探究最小生成树算法中的佼佼者——Kruskal 算法，从原理到实现，一探究竟。

Kruskal 算法：步步为营，构建最优之树

Kruskal 算法的精髓在于贪心策略。它的目标是在带权连通图中找到连接所有顶点的最小生成树，即权值之和最小的生成树。算法的步骤如下：

将图中所有边按权重从小到大排序，形成边集 E。
初始化一个空生成树 T。
从边集 E 中依次取出权重最小的边，若加入 T 后不形成回路，则加入 T；否则，舍弃这条边。
重复步骤 3，直到 T 包含了图中所有顶点。

Kruskal 算法的数学证明：严谨推导，步步为真

Kruskal 算法的正确性可以通过数学归纳法证明：

基准情况： 当图中只有一个顶点时，最小生成树显然是空集，Kruskal 算法能够正确找到这一结果。

归纳假设： 假设 Kruskal 算法能够正确找到一个具有 n 个顶点的图的最小生成树。

归纳步骤： 考虑一个具有 n+1 个顶点的图 G。将 G 中的边按权重从小到大排序，得到边集 E。

从 E 中取出权重最小的边 (u, v)，并将其加入到生成树 T 中。此时，T 包含了 n+1 个顶点和 n 条边，但它可能不是最小生成树。

若 T 包含回路，则可以将回路中的某条边 (x, y) 移除，形成一个新的生成树 T'。T' 包含 n+1 个顶点和 n 条边，且没有回路。根据归纳假设，T' 是图 G 的最小生成树。

若 T 不包含回路，则 T 就是图 G 的最小生成树。

综上所述，Kruskal 算法能够正确找到一个具有 n+1 个顶点的图的最小生成树，由此证明了 Kruskal 算法的正确性。

携手 JavaScript，领略 K 路算法的风采

现在，让我们基于 JavaScript 实现 Kruskal 算法，以便更加直观地理解它的运行机制。

class Graph {
  constructor() {
    this.vertices = [];
    this.edges = [];
  }

  addVertex(vertex) {
    this.vertices.push(vertex);
  }

  addEdge(edge) {
    this.edges.push(edge);
  }

  kruskalMST() {
    // 初始化并对边集进行排序
    const sortedEdges = this.edges.sort((a, b) => a.weight - b.weight);
    const disjointSet = new DisjointSet(this.vertices);

    // 每次加入权重最小的边，直到形成最小生成树
    const mst = [];
    for (let edge of sortedEdges) {
      const { from, to } = edge;
      if (disjointSet.find(from) !== disjointSet.find(to)) {
        mst.push(edge);
        disjointSet.union(from, to);
      }
    }

    return mst;
  }
}

class DisjointSet {
  constructor(vertices) {
    this.parents = {};
    for (let vertex of vertices) {
      this.parents[vertex] = vertex;
    }
  }

  find(vertex) {
    if (this.parents[vertex] === vertex) {
      return vertex;
    }

    return this.find(this.parents[vertex]);
  }

  union(vertex1, vertex2) {
    const root1 = this.find(vertex1);
    const root2 = this.find(vertex2);

    if (root1 !== root2) {
      this.parents[root2] = root1;
    }
  }
}

// 测试用例
const graph = new Graph();
graph.addVertex("A");
graph.addVertex("B");
graph.addVertex("C");
graph.addVertex("D");
graph.addVertex("E");
graph.addVertex("F");

graph.addEdge({ from: "A", to: "B", weight: 4 });
graph.addEdge({ from: "A", to: "C", weight: 2 });
graph.addEdge({ from: "B", to: "C", weight: 1 });
graph.addEdge({ from: "B", to: "D", weight: 5 });
graph.addEdge({ from: "C", to: "D", weight: 8 });
graph.addEdge({ from: "C", to: "E", weight: 6 });
graph.addEdge({ from: "D", to: "E", weight: 3 });
graph.addEdge({ from: "E", to: "F", weight: 7 });

const mst = graph.kruskalMST();
console.log(mst);