盛水问题：揭秘 LeetCode 盛最多水的容器

掌握盛水技巧：揭开 LeetCode 11 的奥秘

在算法的海洋中，LeetCode 是一座巍峨的灯塔，照亮着程序员通往编程精通的道路。而 LeetCode 11. 盛最多水的容器，则是算法爱好者和编程面试者的必经之岛。在这篇博客中，我们将深入剖析这个经典问题，揭开盛水技巧的奥秘，提升你的算法和编程能力。

直观理解：容器的黄金法则

盛最多水的容器，本质上就是寻找两条垂直线段，在它们与 x 轴构成的容器中容纳尽可能多的水。直观上，我们要找高度较高的线段，同时让它们之间的距离尽可能大。然而，单纯追求高线段并不总是奏效，因为线段间的距离可能很小。因此，我们需要找到一个平衡点，既保证高度足够高，又能保证距离足够大。

动态规划：自底向上的破解之道

为了系统地解决盛水问题，动态规划算法闪亮登场。动态规划是一种自底向上的方法，通过将问题分解成一系列子问题，逐步求解，最终得到整体问题的最优解。

算法步骤：从子问题到整体

1. 初始化： 设 dp[i][j] 表示以第 i 条和第 j 条垂直线段为左右端点的容器所能容纳的最大水量。
2. 状态转移： 对于任意 i < j，我们可以通过以下方式计算 dp[i][j]：

   dp[i][j] = max(dp[i][j], min(height[i], height[j]) * (j - i))
   

3. 边界条件： 当 i = j 时，dp[i][j] = 0（因为只有一条垂直线段）。
4. 最终结果： 最大水量为 max(dp[i][j])，其中 0 ≤ i < j < n。

时间复杂度：子问题的累积

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为数组 height 的长度。这是因为算法需要遍历所有可能的线段对。

代码实现：动态规划算法的编程实践

def max_area(height):
  n = len(height)
  dp = [[0] * n for _ in range(n)]
  for i in range(n):
    for j in range(i + 1, n):
      dp[i][j] = max(dp[i][j], min(height[i], height[j]) * (j - i))
  return max(max(row) for row in dp)

示例：实战演练

输入：

height = [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]

输出：

49

解释：
盛水最多的容器由第 1 条和第 8 条垂直线段构成，其高度分别为 8 和 7，之间的距离为 7。因此，容器能够容纳的最大水量为 min(8, 7) * 7 = 49。

结论：盛水的艺术

通过对 LeetCode 11 的深入分析，我们掌握了盛水问题的精髓。动态规划算法提供了系统有效的求解方案，而示例代码则展示了算法的具体实现。通过持续探索和练习，算法爱好者和编程面试者能够不断提升自己的能力，在算法竞赛和面试中取得优异成绩。

常见问题解答：盛水难题的疑惑解答

1. 为什么不能直接选择最高的两条垂直线段？

   • 虽然高度是盛水量的关键因素，但线段间的距离同样重要。如果距离太小，即便高度很高，盛水量也可能很低。

2. 动态规划算法中状态转移方程的含义是什么？

   • 该方程计算了以第 i 条和第 j 条垂直线段为左右端点的容器的最大水量。它取之前计算过的子问题的最大值，以及当前线段高度和距离的乘积的最大值。

3. 算法的时间复杂度是否可以优化？

   • 该算法的时间复杂度为 O(n^2)，目前没有已知的方法可以显著优化。

4. 该算法适用于哪些类似问题？

   • 该算法可以解决所有类似的问题，其中需要在给定范围内找到两点，以最大化它们之间的某个值（例如，面积、距离等）。

5. 学习动态规划算法的最佳建议是什么？

   • 多练习，多理解。尝试解决不同的问题，并深入理解状态转移方程和边界条件。