巧用数学思维，解决「n个骰子的点数」难题

2023-11-14 05:57:09

骰子，这种看似简单的游戏道具，却蕴含着不小的数学玄机。在「剑指 Offer 60. n 个骰子的点数」这道题中，我们便需要运用巧妙的数学思维，来计算掷出 n 个骰子后，各个点数出现的概率。

1. 剖析题目，确定思路

题目要求我们计算掷出 n 个骰子后，各个点数出现的概率。骰子有 6 个面，每个面代表一个点数，从 1 到 6。因此，掷出一个骰子，每个点数出现的概率为 1/6。

如果掷出多个骰子，则需要考虑排列组合的情况。例如，掷出两个骰子，点数为 1 和 2 的概率为 (1/6) * (1/6) = 1/36。

2. 建立模型，计算概率

对于掷出 n 个骰子，我们可以用动态规划的方法来计算各个点数出现的概率。设 dp(i, j) 表示掷出 i 个骰子，点数和为 j 的概率。则有以下递推公式：

dp(i, j) = sum(dp(i - 1, j - k) * (1/6), k = 1 to 6)

其中，sum 表示对 k 从 1 到 6 求和。

3. 优化算法，提升效率

上述递推公式的时间复杂度为 O(n * n * 6)，其中 n 为骰子个数。我们可以通过以下优化手段来提升算法效率：

记忆化搜索： 将中间结果存储在数组中，避免重复计算。
区间 DP： 将问题划分为若干个子区间，只计算每个子区间的概率。

4. 代码实现，示例展示

public class DiceSum {

    public double[] diceSum(int n) {
        double[] dp = new double[n * 6 + 1];
        dp[0] = 1.0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j <= n * 6; j++) {
                for (int k = 1; k <= 6; k++) {
                    dp[j] += dp[j - k] / 6.0;
                }
            }
        }
        return dp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        DiceSum ds = new DiceSum();
        double[] probabilities = ds.diceSum(2);
        for (double probability : probabilities) {
            System.out.println(probability);
        }
    }
}