水容器盛水最多的方法：LeetCode热题100揭秘

2023-12-25 07:22:01

攻克盛最多水的容器：两种高效算法

在数据结构和算法的领域中，"盛最多水的容器"问题一直备受关注。该问题要求我们在给定一组代表容器高度的整数数组中，找到可以盛放最多水的两个容器。解决此问题不仅在理论上具有挑战性，在实际应用中也十分重要，例如在计算降雨后水池的蓄水量或设计水坝。

本文将深入探讨两种解决盛最多水的容器问题的常用算法：动态规划和贪心算法。我们将详细分析每种算法的运作方式、性能表现和优缺点，并提供清晰的代码示例和常见问题解答。

动态规划：循序渐进的求解方法

动态规划是一种自底向上的求解方法，将复杂问题分解成一系列较小且可求解的子问题。对于盛最多水的容器问题，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 个和第 j 个容器为边界的容器所盛水的最大面积。

算法步骤：

初始化 dp 数组，其中 dp[i][i] 为 0（一条容器不能盛水），其他元素为 -1。
对于所有 i < j，计算 dp[i][j] = max(dp[i][j-1], min(height[i], height[j]) * (j - i))，其中 height 是给定的容器高度数组。
遍历 dp 数组，找到盛水面积最大的容器，并返回对应的两个容器索引。

贪心算法：直觉驱动的快速解决方案

贪心算法是一种启发式求解方法，在每一步中选择当前看起来最优的选择，而不考虑未来影响。对于盛最多水的容器问题，我们可以遵循以下步骤：

将 height 数组排序。
使用两个指针 i 和 j 分别指向数组开头和结尾。
计算容器面积为 min(height[i], height[j]) * (j - i)。
如果面积大于当前最大面积，更新最大面积。
根据容器高度比较，移动指针 i 或 j 以探索更大的面积。
重复步骤 3-5，直到 i 和 j 相遇。

性能对比：时间与空间效率

算法	时间复杂度	空间复杂度
动态规划	O(n²)	O(n²)
贪心算法	O(n log n)	O(1)

动态规划的优势在于准确性，它可以保证找到最优解。然而，其时间和空间复杂度均为 O(n²)，在大型数据集上可能效率较低。贪心算法虽然速度更快（时间复杂度为 O(n log n)），但它只能找到局部最优解，而非全局最优解。

代码示例：Python 实现

动态规划：

def max_area_dp(height):
    n = len(height)
    dp = [[-1] * n for _ in range(n)]
    return _max_area_dp(height, 0, n - 1, dp)

def _max_area_dp(height, i, j, dp):
    if i >= j:
        return 0
    if dp[i][j] != -1:
        return dp[i][j]
    max_area = 0
    for k in range(i, j + 1):
        area = min(height[i], height[k]) * (k - i)
        max_area = max(max_area, area + _max_area_dp(height, i, k - 1, dp) + _max_area_dp(height, k + 1, j, dp))
    dp[i][j] = max_area
    return max_area

贪心算法：

def max_area_greedy(height):
    n = len(height)
    i, j, max_area = 0, n - 1, 0
    while i < j:
        area = min(height[i], height[j]) * (j - i)
        max_area = max(max_area, area)
        if height[i] < height[j]:
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return max_area