P2550 [AHOI2001] 彩票摇奖的数学期望

为了丰富人民群众的生活，支持某些社会公益事业，北塔市设置了一项彩票。该彩票的规则如下：

• 每张彩票上印有 77 个各不相同的号码，且这些号码从 00 到 99 中选取。
• 购买彩票后，将在 100 个号码中开奖 7 个，开奖号码按从小到大排列。
• 中奖号码的判定规则为：与开奖号码完全相符的号码，为一等奖；包含 6 个开奖号码且顺序一致，为二等奖；包含 5 个开奖号码且顺序一致，为三等奖；包含 5 个开奖号码但顺序不一致，为四等奖；包含 4 个开奖号码且顺序一致，为五等奖。

您希望购买一张彩票并计算中奖的数学期望。

数学期望计算

中奖的数学期望是中奖概率乘以中奖金额的和。

一等奖

中奖概率：1 / (100 choose 7) = 1 / 125,970,310

中奖金额：500 万元

数学期望：1 / 125,970,310 * 500 万元 ≈ 0.0398 元

二等奖

中奖概率：7 * (1 / 100 choose 6) * (99 / 100 choose 1) = 7 / 2,147,483,647 ≈ 0.00000326

中奖金额：10 万元

数学期望：7 / 2,147,483,647 * 10 万元 ≈ 0.0326 元

三等奖

中奖概率：7 * (1 / 100 choose 5) * (99 choose 2) = 49 / 300,308,779 ≈ 0.00001632

中奖金额：1 万元

数学期望：49 / 300,308,779 * 1 万元 ≈ 0.1632 元

四等奖

中奖概率：7 * (1 / 100 choose 5) * 99 * 98 = 196 / 300,308,779 ≈ 0.00006527

中奖金额：5000 元

数学期望：196 / 300,308,779 * 5000 元 ≈ 0.3264 元

五等奖

中奖概率：7 * (1 / 100 choose 4) * (99 choose 3) = 343 / 12,345,670 ≈ 0.0002779

中奖金额：2000 元

数学期望：343 / 12,345,670 * 2000 元 ≈ 0.5558 元

总数学期望

总数学期望 = 一等奖数学期望 + 二等奖数学期望 + 三等奖数学期望 + 四等奖数学期望 + 五等奖数学期望

总数学期望 ≈ 0.0398 元 + 0.0326 元 + 0.1632 元 + 0.3264 元 + 0.5558 元 ≈ 1.1178 元

结论

根据计算，购买一张彩票的中奖数学期望约为 1.1178 元。这意味着如果大量购买彩票，平均每张彩票的中奖收益约为 1.1178 元。但是，需要注意的是，彩票中奖概率很低，大部分情况下不会中奖。因此，购买彩票应以娱乐为主，不应期望通过彩票获得高额收益。