LeetCode 73：矩阵置零，你的巧妙方法在哪？

征服 LeetCode 73：矩阵置零的动态规划之旅

摘要

在 LeetCode 的算法题库中，73 题“矩阵置零”无疑是一颗璀璨的明珠。这道题考察了算法基本功和动态规划思想的灵活运用，是算法学习者必备的挑战。本文将深入解析这道题的解题思路和 Python 代码实现，带领你领略算法的魅力。

矩阵置零：问题概述

给定一个 m × n 矩阵，如果矩阵中某个元素为 0，则将该元素所在的行和列的所有元素都置为 0。如何设计一种时间复杂度为 O(mn) 的算法来解决这个问题？

动态规划：巧解难题

这道题的关键在于高效地置零包含 0 的行和列。我们可以利用动态规划思想，通过两个辅助数组（rows 和 cols）来记录需要置零的行和列。

算法步骤如下：

1. 遍历矩阵 ：遍历给定的矩阵，当遇到一个 0 元素时，将对应行的索引记录到 rows 数组，将对应列的索引记录到 cols 数组。

2. 置零行和列 ：遍历 rows 和 cols 数组，将其中记录的行和列的所有元素都置为 0。

代码示例：Python 实现

def set_zeroes(matrix):
    rows = []
    cols = []

    # 记录需要置零的行和列
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if matrix[i][j] == 0:
                rows.append(i)
                cols.append(j)

    # 置零行和列
    for row in rows:
        for j in range(len(matrix[0])):
            matrix[row][j] = 0

    for col in cols:
        for i in range(len(matrix)):
            matrix[i][col] = 0

    return matrix

时间复杂度分析

上述算法的时间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。

举例说明

假设我们有一个 3 × 4 的矩阵：

[[1, 1, 1, 1],
 [1, 0, 1, 1],
 [1, 1, 0, 1]]

应用我们的算法后，矩阵将被置零为：

[[1, 0, 0, 1],
 [0, 0, 0, 0],
 [0, 0, 0, 0]]

结论

通过本文对 LeetCode 73 题的深入解析，我们不仅掌握了解决该题的动态规划思路，还提升了算法分析和解决问题的能力。面对复杂的问题，掌握科学的解题方法至关重要，而动态规划便是算法宝库中一颗璀璨的明珠。希望本文能为广大算法学习者带来启发和帮助，助力大家在算法的道路上不断精进！

常见问题解答

1. 如何优化算法的时间复杂度？

算法的时间复杂度已经达到 O(mn)，这是不可避免的。因为我们必须遍历整个矩阵，才能确定需要置零的行和列。

2. 如果矩阵很大，会出现内存问题怎么办？

对于大型矩阵，我们可以考虑使用空间换时间的方法。使用一个哈希表来记录需要置零的行和列，这样就不用创建额外的辅助数组。

3. 如何处理稀疏矩阵（大部分元素为 0）？

对于稀疏矩阵，我们可以使用一种叫做“按需置零”的方法。只有当我们访问到一个 0 元素时，才将该元素所在的行和列的所有元素置零。

4. 除了动态规划，还有其他解决方法吗？

除了动态规划，还可以使用 DFS（深度优先搜索）或 BFS（广度优先搜索）来解决此问题。但是，动态规划通常是效率最高的解决方案。

5. 这道题在实际应用中有什么意义？

矩阵置零算法在图像处理、数据挖掘和数值计算等领域有着广泛的应用。它可以用来检测和修复数据中的异常值，并简化复杂的矩阵操作。