探索机器学习算法之EM算法(Expectation Maximization Algorithm)的奥秘

后端

2023-11-25 01:11:30

EM算法：数据挖掘的秘密武器，揭示隐藏奥秘

EM 算法 是一种强大的数据挖掘工具，能够在存在隐变量的情况下对数据进行建模和分析。它广泛应用于机器学习、统计学和数据分析等领域，以其简单易懂的原理和强大的解析能力备受推崇。

破解EM算法的奥秘：三步一曲

EM算法的运作过程包含三个关键步骤：

E步（期望）： 计算隐变量在给定模型参数下的后验概率分布。
M步（极大）： 在固定的隐变量后验概率分布下，最大化模型的似然函数，更新模型参数。
收敛： 重复E步和M步，直到模型参数不再发生显著变化，达到收敛状态，此时获得的最优模型参数。

踏上EM算法的应用之旅

EM算法在众多领域展现出其非凡的潜力：

混合高斯模型（GMM）： 对数据进行聚类，将数据点划分为多个组或类别。
隐马尔可夫模型（HMM）： 建模时间序列数据，预测未来状态或事件。
因子分析： 识别数据的潜在特征或变量。
推荐系统： 为用户推荐他们可能感兴趣的物品或服务。

Python代码实战：EM算法亲身体验

为了加深对EM算法的理解，让我们通过一个Python代码示例亲身体验它的运作方式：

import numpy as np
from scipy.special import logsumexp

class EMAlgorithm:
    def __init__(self, data, k):
        self.data = data
        self.k = k
        self.pi = np.ones(k) / k
        self.mu = np.random.randn(k, data.shape[1])
        self.sigma = np.ones((k, data.shape[1], data.shape[1]))

    def e_step(self):
        p_z_given_x = np.zeros((self.data.shape[0], self.k))
        for i in range(self.data.shape[0]):
            for j in range(self.k):
                p_z_given_x[i, j] = self.pi[j] * self.multivariate_normal_pdf(self.data[i], self.mu[j], self.sigma[j])
        p_z_given_x /= np.sum(p_z_given_x, axis=1)[:, np.newaxis]
        return p_z_given_x

    def m_step(self, p_z_given_x):
        self.pi = np.sum(p_z_given_x, axis=0) / self.data.shape[0]
        self.mu = np.dot(p_z_given_x.T, self.data) / np.sum(p_z_given_x, axis=0)[:, np.newaxis]
        for i in range(self.k):
            self.sigma[i] = np.dot((self.data - self.mu[i]).T, (self.data - self.mu[i]) * p_z_given_x[:, i][:, np.newaxis]) / np.sum(p_z_given_x[:, i])

    def multivariate_normal_pdf(self, x, mu, sigma):
        det = np.linalg.det(sigma)
        inv_sigma = np.linalg.inv(sigma)
        return (2 * np.pi)**(-x.shape[0] / 2) * det**  (-0.5) * np.exp(-0.5 * np.dot(x - mu, np.dot(inv_sigma, x - mu)))

    def train(self, max_iter=100):
        for _ in range(max_iter):
            p_z_given_x = self.e_step()
            self.m_step(p_z_given_x)

    def predict(self, data):
        p_z_given_x = np.zeros((data.shape[0], self.k))
        for i in range(data.shape[0]):
            for j in range(self.k):
                p_z_given_x[i, j] = self.pi[j] * self.multivariate_normal_pdf(data[i], self.mu[j], self.sigma[j])
        p_z_given_x /= np.sum(p_z_given_x, axis=1)[:, np.newaxis]
        return np.argmax(p_z_given_x, axis=1)