剑指 Offer 10.1：斐波那契数列的终极奥秘：从入门到精通！

2024-02-08 18:02:46

揭秘斐波那契数列：从公式到应用

斐波那契数列是一个经典的数学序列，其中每个数字都是前两个数字之和。这个序列以意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）的名字命名。在自然界中，斐波那契数列经常出现在各种图案和结构中，例如花瓣的数量、树枝的分叉等。

斐波那契数列的公式如下：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

其中，F(0) = 0、F(1) = 1。这意味着，从第三个数开始，每个斐波那契数字都是前两个数字的总和。

斐波那契数列的应用非常广泛，从数学、物理到计算机科学，都可以见到它的身影。在计算机科学中，斐波那契数列经常用于解决优化问题，例如查找最小生成树、计算最短路径等。

算法实现：动态规划与递归

在计算机编程中，我们可以通过动态规划或递归来实现斐波那契数列的计算。

动态规划是一种自底向上的算法设计方法。我们可以预先计算出斐波那契数列的前几个数字，并将其存储在数组中。当我们需要计算第n个斐波那契数字时，我们只需查阅数组即可。动态规划法的时间复杂度为O(n)，其中n是斐波那契数列的长度。

def fibonacci_dp(n):
    """
    计算斐波那契数列的第n个数字，使用动态规划法。

    Args:
    n: 要计算的斐波那契数列的长度。

    Returns:
    第n个斐波那契数字。
    """

    # 初始化斐波那契数列的前两个数字。
    fib_sequence = [0, 1]

    # 逐个计算斐波那契数列的剩余数字。
    for i in range(2, n + 1):
        next_number = fib_sequence[i - 1] + fib_sequence[i - 2]
        fib_sequence.append(next_number)

    # 返回第n个斐波那契数字。
    return fib_sequence[n]

递归是一种自顶向下的算法设计方法。我们可以通过调用自身来计算斐波那契数列的第n个数字。递归法的的时间复杂度为O(2^n)，其中n是斐波那契数列的长度。

def fibonacci_recursive(n):
    """
    计算斐波那契数列的第n个数字，使用递归法。

    Args:
    n: 要计算的斐波那契数列的长度。

    Returns:
    第n个斐波那契数字。
    """

    # 递归出口：当n为0或1时，直接返回n。
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1

    # 递归调用自身来计算斐波那契数列的第n个数字。
    else:
        return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)