动态规划——通关高频DP题集锦

后端

2023-07-20 19:53:35

动态规划：解题秘诀

简介

动态规划是一种强大的算法思想，特别适用于解决一系列相关的问题。它通过分解复杂问题为一系列重叠子问题来工作，并存储和重用子问题的解决方案以避免重复计算。

经典动态规划问题

以下是 10 个经典的动态规划问题，它们广泛用于计算机科学和现实生活应用中：

1. 0-1 背包问题

想象你有一个背包，可以装一定重量的物品。你有多件物品，每件物品都有自己的重量和价值。你的目标是选择一些物品放入背包，使得总重量不超过背包容量，同时总价值最大化。

2. 最长公共子序列问题

给定两个字符串，你的目标是找到这两个字符串的最长公共子序列。最长公共子序列是指同时存在于两个字符串中的最长连续子序列。

3. 最长上升子序列问题

你有给定一个数组，你的目标是找到数组中从头到尾严格单调递增的最长子序列。

4. 旅行者问题

你有 n 个城市要游览，每个城市都有到达和离开的费用。你的目标是找到一条路径，从一个城市到另一个城市，使得总费用最小。

5. 硬币问题

你有 n 个硬币，每个硬币都有不同的面值。你的目标是使用这些硬币凑成给定金额，并且使用最少的硬币数。

6. 最大子数组问题

给定一个数组，你的目标是找到连续子数组，使得该子数组的和最大。

7. 最小路径和问题

你有给定一个网格，每个单元格都有权重。你的目标是从网格的左上角走到右下角，使得路径总权重最小。

8. 最大权独立集问题

给定一个图，每个节点都有权重。你的目标是找到一个节点集合，使得该集合中任意两个节点都不相邻，且权重和最大。

9. 背包问题

与 0-1 背包问题类似，但允许在背包中装入部分物品。你的目标仍然是最大化总价值，同时满足背包容量限制。

10. 旅行者问题

与旅行者问题类似，但允许多次访问同一城市。你的目标是找到一条路径，使得总费用和总旅行距离最小。

动态规划的应用

动态规划在众多领域都有广泛的应用，包括：

计算机图形学
优化
机器学习
生物信息学

代码示例

下面是用 Python 实现的背包问题的代码示例：

def backpack(items, capacity):
    """
    求解 0-1 背包问题。

    参数：
    items: 物品列表，每个物品是一个元组 (weight, value)。
    capacity: 背包容量。

    返回：
    背包中物品的最大总价值。
    """

    # 创建一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中的最大总价值。
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(len(items) + 1)]

    # 逐行逐列填充 dp 数组。
    for i in range(1, len(items) + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            weight, value = items[i - 1]

            # 如果当前物品重量大于背包容量，则不放入背包。
            if weight > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            # 否则，比较放入和不放入背包两种情况。
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight] + value)

    # 返回背包中物品的最大总价值。
    return dp[len(items)][capacity]