动态规划大显身手，化繁为简解 LeetCode 2285

2024-01-13 02:14:16

最大化道路总重要性，最小化总成本

在现实世界中，我们经常需要优化资源分配。这在设计城市路网时尤其重要，因为我们希望以最小的成本获得最大的利益。在 LeetCode 2285：Maximum Total Importance of Roads 这道题中，您将面临这样一个有趣的城市路网问题。

背景

想象一下，您需要在一个由 n 个城市和 m 条道路构成的网络中，优化道路的重要性和最小花费。每个城市的重要性由一个非负整数表示，而每条道路的成本也是一个非负整数。您的任务是选择一些道路，使得总重要性最大化，同时总成本最小化。

算法策略

解决这类问题时，动态规划是一个强大的工具。我们将使用一个二维数组 dp 来存储子问题的最优解。其中，dp[i][j] 表示考虑前 i 条道路，且总重要性为 j 时，能得到的最小总成本。

Python 代码实现

def maximumTotalImportanceOfRoads(n, roads):
    # Sort the roads by their costs
    roads.sort(key=lambda road: road[2])

    # Initialize the dp array
    dp = [[float('inf') for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]

    # Set the base case: dp[0][0] = 0
    dp[0][0] = 0

    # Iterate over the roads
    for road in roads:
        # Get the city indices and the cost of the road
        city1, city2, cost = road

        # Iterate over the possible total importance values
        for importance in range(n + 1):
            # If the total importance is less than the importance of the road,
            # then we cannot include the road
            if importance < road[2]:
                continue

            # Update the dp array
            dp[importance][city1] = min(dp[importance][city1], dp[importance - road[2]][city2] + cost)
            dp[importance][city2] = min(dp[importance][city2], dp[importance - road[2]][city1] + cost)

    # Find the maximum total importance that can be achieved
    max_importance = 0
    for importance in range(n + 1):
        max_importance = max(max_importance, importance)

    # Return the minimum total cost of achieving the maximum total importance
    return dp[max_importance][n]