组合总和 IV: 解锁目标总和的秘密

组合总和 IV：目标总和的艺术

在算法题每日一练的征途上，我们今天将面对组合总和 IV 的挑战。这道题要求我们找出由不同整数组成的数组中，总和等于给定目标值的组合数量。乍一看，这个任务似乎令人望而生畏，但别担心！动态规划将成为我们的指引之星，帮助我们巧妙地解决问题。

动态规划：拆分与征服

动态规划是一种强大的算法技术，它将复杂问题分解成较小的子问题。对于组合总和 IV，我们可以将问题拆分为以下子问题：

1. 对于给定的数组和目标总和，找出所有可能的组合。
2. 计算每个组合的总和，并检查它是否等于目标总和。
3. 将等于目标总和的组合数量加到最终结果中。

递推关系：逐层探索

动态规划的精髓在于递推关系，它了子问题之间的关系。对于组合总和 IV，我们的递推关系如下：

dp[i] = dp[i - nums[j]] + dp[i]

其中：

• dp[i] 是总和为 i 的组合数量。
• nums[j] 是数组中的一个整数。
• dp[i - nums[j]] 是总和为 i - nums[j] 的组合数量。

这个递推关系意味着，对于总和为 i 的组合，我们可以通过将数组中的整数 nums[j] 添加到总和为 i - nums[j] 的组合中来构造它。

算法实现：从下到上构建

有了递推关系，我们就可以编写一个算法来解决组合总和 IV 问题：

def combinationSum4(nums, target):
    # 初始化动态规划表
    dp = [0] * (target + 1)

    # 对于总和为 0 的组合，数量为 1
    dp[0] = 1

    # 对于数组中的每个整数
    for num in nums:
        # 对于所有可能的总和
        for i in range(num, target + 1):
            # 将总和为 i - num 的组合数量加到总和为 i 的组合数量中
            dp[i] += dp[i - num]

    # 返回总和为 target 的组合数量
    return dp[target]

示例：揭开谜底

为了进一步理解组合总和 IV，让我们考虑一个示例：

输入：

• nums = [1, 2, 3]
• target = 4

输出：

7

解释：

总和为 4 的组合有：

• 1 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1
• 2 + 2
• 1 + 3
• 3 + 1

因此，总和为目标值 4 的组合数量为 7。

结论：算法的优雅与实用

组合总和 IV 问题证明了动态规划的优雅与实用。通过将问题分解成较小的子问题，并使用递推关系逐层探索，我们可以有效地解决复杂问题。这种算法技术在计算机科学中有着广泛的应用，例如背包问题、字符串匹配和最短路径问题。通过掌握动态规划，我们可以解锁算法世界的更多奥秘，解决更具挑战性的问题。