牛顿法：机器学习中的凸优化通俗解析

关键词：

引言

在机器学习中，优化算法是解决学习问题和训练模型的关键。梯度下降法是一种常用的优化算法，它利用梯度信息进行一阶优化。而牛顿法是一种二阶优化算法，它利用梯度和海森矩阵信息来进行优化。本文将重点讲解牛顿法的基本概念和推导过程，并将梯度下降与牛顿法做个比较。

牛顿法求解方程的根

求根问题： 对于给定的函数 f(x)，求其根 x*，即满足 f(x*) = 0 的 x 值。

牛顿法步骤： 从一个初始点 x0 出发，依次迭代更新 x 值，直到收敛到根 x*：

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

数学推导： 根据泰勒展开，函数 f(x) 在 x0 处的展开式为：

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + 1/2 f''(x_0)(x - x_0)^2 + ...

如果忽略高阶项，近似为：

f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

令 f(x) = 0，可得：

x - x_0 ≈ -f(x_0) / f'(x_0)

这就是牛顿迭代公式的来源。

牛顿法凸优化

凸优化问题： 求解目标函数 f(x) 的最小值，其中 f(x) 是凸函数。

牛顿法步骤： 从一个初始点 x0 出发，依次迭代更新 x 值，直到收敛到极小值 x*：

x_{n+1} = x_n - H(x_n)^{-1} ∇f(x_n)

其中 H(x) 是目标函数 f(x) 在 x 处的海森矩阵，∇f(x) 是 f(x) 的梯度。

数学推导： 根据泰勒展开，目标函数 f(x) 在 x0 处的展开式为：

f(x) = f(x_0) + ∇f(x_0)^T(x - x_0) + 1/2 (x - x_0)^T H(x_0) (x - x_0) + ...

如果忽略高阶项，近似为：

f(x) ≈ f(x_0) + ∇f(x_0)^T(x - x_0) + 1/2 (x - x_0)^T H(x_0) (x - x_0)

求解 f(x) 的极小值等价于求解以下方程组：

∇f(x) = 0
H(x) (x - x_0) = -∇f(x_0)

这就是牛顿迭代公式的来源。

牛顿法与梯度下降

牛顿法和梯度下降都是优化算法，但有以下不同：

• 优化顺序： 牛顿法是二阶优化算法，而梯度下降是一阶优化算法。
• 收敛速度： 在某些条件下，牛顿法的收敛速度比梯度下降快。
• 海森矩阵： 牛顿法需要计算海森矩阵，而梯度下降不需要。

总结

牛顿法是一种二阶优化算法，它利用梯度和海森矩阵信息来进行优化。在某些条件下，牛顿法的收敛速度比梯度下降快。但在实际应用中，由于计算海森矩阵的开销较大，牛顿法通常用于小规模问题或高维问题的局部优化。