回文世界里的一场时空穿梭：算法揭示语言的奇妙艺术

2023-09-01 11:31:34

LC 647. Palindromic Substrings 的回文算法之旅，是一场算法揭示语言奇妙艺术的旅程。它将计算机科学的逻辑与语言学的精妙融为一体，带领我们从回文子串的计数问题，深入到语言结构与算法设计之间深邃的关联。

回文子串，顾名思义，是指一个字符串经过正反两种方向的读取都保持相同的顺序。例如，“abba”就是一个回文子串，无论从左向右读还是从右向左读，都是“abba”。回文子串的出现，不仅在语言学中有着重要的地位，在计算机科学中也有着广泛的应用，如文本处理、密码学、数据压缩等领域。

而LC 647. Palindromic Substrings 题目所要解决的问题，是如何高效地计算一个给定字符串中回文子串的数量。乍一看，这个问题似乎有些晦涩难懂，但如果我们分解一下算法的原理，就会发现它其实并不复杂。

算法的核心思想是利用动态规划的策略，将大问题分解成一系列子问题，并逐步解决这些子问题，最终得到整个问题的解。动态规划的步骤主要包括：

定义子问题：对于给定字符串 S，将计算回文子串数量的问题分解成若干个子问题，每个子问题对应于 S 的一个子串。例如，对于字符串 “abba”，我们可以将其分解成四个子问题：计算 “a”、”bb”、”ab” 和 “abba” 的回文子串数量。
定义状态：对于每个子问题，我们需要定义一个状态来记录子问题的解。在这个问题中，我们可以使用一个二维数组 dp[i][j] 来记录子字符串 S[i:j] 的回文子串数量，其中 i 和 j 分别表示子字符串的起始索引和结束索引。
计算状态转移方程：对于每个子问题，我们需要计算其状态转移方程，即如何从已知子问题的解推导出当前子问题的解。在这个问题中，我们可以根据以下规则来计算状态转移方程：
- 若 S[i] == S[j]，则 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 1
- 若 S[i] != S[j]，则 dp[i][j] = 0
边界条件：对于特殊情况，我们需要设置边界条件来处理。在这个问题中，边界条件是当 i > j 时，dp[i][j] = 0，因为子字符串 S[i:j] 的长度为负，不存在回文子串。
求解最终解：当我们计算出所有子问题的解之后，最终问题的解就是所有子问题的解的和，即 dp[0][n-1]，其中 n 是字符串 S 的长度。