透析回溯、动态规划与公式 拨开89号题的迷雾

回溯算法

回溯算法是一种经典的搜索算法，它通过尝试所有可能的组合来寻找问题的解决方案。在解决格雷编码问题时，我们可以使用回溯算法来生成所有可能的格雷编码序列。

首先，我们定义一个函数 generate_gray_code(n)，其中 n 表示格雷编码的位数。这个函数将返回所有可能的格雷编码序列。

def generate_gray_code(n):
  if n == 0:
    return ['']
  else:
    prev_gray_codes = generate_gray_code(n-1)
    gray_codes = []
    for prev_gray_code in prev_gray_codes:
      gray_codes.append('0' + prev_gray_code)
    for prev_gray_code in reversed(prev_gray_codes):
      gray_codes.append('1' + prev_gray_code)
    return gray_codes

这个函数首先检查 n 是否为 0。如果 n 为 0，则说明我们已经找到了一个格雷编码序列，因此我们直接返回一个空字符串。否则，我们调用 generate_gray_code(n-1) 来生成所有可能的 n-1 位的格雷编码序列。然后，我们遍历这些 n-1 位的格雷编码序列，并在它们前面添加一个 '0' 或 '1'。最后，我们将这些新的格雷编码序列添加到 gray_codes 列表中。

动态规划

动态规划是一种自顶向下的解决问题的策略。在解决格雷编码问题时，我们可以使用动态规划来计算所有可能的格雷编码序列。

首先，我们定义一个函数 dp(n)，其中 n 表示格雷编码的位数。这个函数将返回所有可能的 n 位的格雷编码序列。

def dp(n):
  if n == 0:
    return ['']
  else:
    prev_gray_codes = dp(n-1)
    gray_codes = []
    for prev_gray_code in prev_gray_codes:
      gray_codes.append('0' + prev_gray_code)
    for prev_gray_code in reversed(prev_gray_codes):
      gray_codes.append('1' + prev_gray_code)
    return gray_codes

这个函数与回溯算法中的函数 generate_gray_code(n) 非常相似。不同之处在于，我们使用了一个备忘录 memo 来存储已经计算过的子问题的结果。这样，当我们再次遇到同一个子问题时，我们就可以直接从备忘录中取出结果，而无需重新计算。

公式与规律

格雷编码还有一些有趣的公式与规律。例如，我们可以使用以下公式来计算第 n 个格雷编码：

gray_code(n) = n XOR (n >> 1)

其中 XOR 表示异或运算，>> 表示右移运算。

我们还可以使用以下规律来生成格雷编码序列：

1. 第一个格雷编码是 0。
2. 对于 n > 0，第 n 个格雷编码是将第 n-1 个格雷编码循环移位一位，然后在前面添加一个 0。

结语

在本文中，我们介绍了三种解决 LeetCode 中的第 89 号问题：格雷编码的方法。这三种方法各有优缺点。回溯算法简单易懂，但时间复杂度较高。动态规划可以减少时间复杂度，但需要使用备忘录来存储子问题的结果。公式与规律可以快速生成格雷编码序列，但需要对格雷编码的数学原理有一定的了解。