盗亦有道：198号题之解密打家劫舍的数学艺术

序言

在数学与计算机科学的交织处，我们发现了一颗璀璨的明珠，那就是动态规划。它不仅在解决复杂的优化问题上大放异彩，还在许多领域留下了不可磨灭的印记。

今天，我们将利用动态规划的精妙，探寻一个经典的计算机科学问题——打家劫舍。它讲述了一个充满悬念的故事，主角是一位老谋深算的小偷，计划在不惊动任何人的情况下窃取沿街房屋内的财宝。然而，他面临着一道难题：每间房屋都装有相互连通的防盗系统，一旦触发警报，整条街的房屋都会被惊动。

如何制定缜密的偷窃策略，最大化收益，成为小偷面临的挑战。在这场智慧与数学的角逐中，我们与小偷一同踏上征途，拨开迷雾，揭开198号题的数学艺术。

动态规划：小偷的数学工具

动态规划是一种解决复杂优化问题的数学方法，它将问题分解成若干个子问题，然后通过递归或迭代的方式逐个求解。动态规划的精髓在于利用子问题的最优解来求得整个问题的最优解。

在打家劫舍问题中，我们可以将房屋看作子问题，每个子问题都有一个对应的收益。我们首先求出每个子问题的最优解，即从当前房屋窃取的最高金额，然后利用这些最优解逐步推导出整个问题的最优解。

递归关系：小偷的数学模型

为了建立动态规划的递归关系，我们需要先明确问题的目标：最大化收益。其次，我们需要考虑子问题的最优解如何影响整个问题的最优解。

如果我们假设小偷从第i间房屋开始偷窃，那么他面临两种选择：

1. 窃取第i间房屋的财宝，继续窃取第i+2间房屋，忽略第i+1间房屋。
2. 放弃第i间房屋的财宝，继续窃取第i+1间房屋。

通过这两个选择，小偷可以最大化收益。因此，第i间房屋的最优解可以用如下递归关系表示：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

其中：

• dp[i]表示从第i间房屋开始窃取的最高金额。
• nums[i]表示第i间房屋内的财宝金额。

边界条件：小偷的数学起点

在使用递归关系求解之前，我们需要为边界条件赋予适当的值。

dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])

这表明，如果只有一间房屋，小偷自然会窃取这间房屋；如果有两间房屋，小偷会选择收益较高的房屋。

求解过程：小偷的数学计算

我们从第2间房屋开始计算，逐个求出每一间房屋的最优解。由于动态规划是一种自底向上的方法，因此我们最终可以得到整个问题的最优解。

for (int i = 2; i < n; i++) {
    dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]);
}

应用案例：小偷的数学实践

现在，让我们以一个具体的案例来应用动态规划的方法解决打家劫舍问题。假设沿街有以下五间房屋，每间房屋内的财宝金额如下：

[1, 2, 3, 1, 4]

根据动态规划的递归关系，我们可以计算出每一间房屋的最优解：

dp[0] = 1
dp[1] = max(1, 2) = 2
dp[2] = max(2, 1 + 3) = 4
dp[3] = max(4, 2 + 1) = 5
dp[4] = max(5, 4 + 4) = 8

因此，小偷从第1间房屋开始窃取，可以获得最高收益8。

小结

打家劫舍问题是动态规划的经典应用案例之一，它不仅展现了动态规划的强大威力，也体现了数学在解决复杂问题中的重要性。通过将问题分解成子问题并利用子问题的最优解求得整个问题的最优解，动态规划为我们提供了一种系统而高效的解决方案。

无论是数学爱好者还是程序员，打家劫舍问题都值得我们深入学习和探索。它不仅可以帮助我们掌握动态规划的基本原理，还可以培养我们用数学眼光看待问题的思维方式。