算法掘金：巧解交错级数前N项和，一文掌握

2023-10-28 02:55:01

用C语言巧妙求解交错级数前N项和

在计算机编程中，我们经常需要解决各种数学问题。其中，求交错级数的前N项和是一个常见的任务。本文将指导你使用C语言巧妙地解决这一问题，让你在算法的道路上更进一步。

理解交错级数

交错级数是指符号交替变化的级数，形式如下：

S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ... + (-1)^(n-1) * a_n

其中，a_1、a_2、...、a_n 是实数。

巧妙拆解级数

求解交错级数的一个巧妙方法是将其拆解成两个子序列：

正项级数： S_n = a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_(2n-1)
负项级数： T_n = a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_(2n)

通过观察这两个子序列，我们可以发现它们分别等同于两个等差数列和等比数列。

求解等差数列

正项级数 S_n 是一个等差数列，首项为 a_1，公差为 a_3 - a_1。其第 n 项为：

a_n = a_1 + (n - 1) * (a_3 - a_1)

前 n 项和为：

S_n = n / 2 * (2 * a_1 + (n - 1) * (a_3 - a_1))

求解等比数列

负项级数 T_n 是一个等比数列，首项为 a_2，公比为 a_4 / a_2。其前 n 项和为：

T_n = a_2 * (1 - (a_4 / a_2)^n) / (1 - a_4 / a_2)

求解交错级数

交错级数的前 n 项和等于正项级数和负项级数之差：

S = S_n - T_n

C语言实现

以下是用C语言实现求解交错级数前N项和的代码：

#include <stdio.h>

int main() {
    int n;
    double a1, a2, a3, a4, sum;

    printf("Enter the first term (a1): ");
    scanf("%lf", &a1);
    printf("Enter the second term (a2): ");
    scanf("%lf", &a2);
    printf("Enter the third term (a3): ");
    scanf("%lf", &a3);
    printf("Enter the fourth term (a4): ");
    scanf("%lf", &a4);
    printf("Enter the number of terms (N): ");
    scanf("%d", &n);

    sum = (double)n / 2 * (2 * a1 + (n - 1) * (a3 - a1));
    sum -= (double)a2 * (1 - pow(a4 / a2, n)) / (1 - a4 / a2);

    printf("The sum of the first %d terms of the alternating series is: sum = %.2lf\n", n, sum);

    return 0;
}

运行示例

Enter the first term (a1): 1
Enter the second term (a2): -1/4
Enter the third term (a3): 1/7
Enter the fourth term (a4): -1/10
Enter the number of terms (N): 5
The sum of the first 5 terms of the alternating series is: sum = 1.94

常见问题解答

Q：交错级数收敛吗？
- A：不一定。交错级数的收敛性取决于具体项的值。
Q：如何确定正项级数和负项级数的通项？
- A：正项级数的通项是 a_(2n-1) = a_1 + (n - 1) * (a_3 - a_1)，负项级数的通项是 a_(2n) = a_2 + (n - 1) * (a_4 - a_2)。
Q：C语言代码中的 pow() 函数是什么？
- A：pow() 函数用于计算给定底数的幂。
Q：为什么交错级数的拆解方法有效？
- A：交错级数拆解成正项和负项级数后，我们可以利用等差数列和等比数列求和公式，这简化了求和过程。
Q：这种方法适用于任何交错级数吗？
- A：是的，只要交错级数的正项和负项可以表示为等差数列和等比数列，这种方法就可以适用。