问题陈述

让机器人走不同路径：LeetCode 62 & 63 深入浅出

导言

在探索计算机科学的迷人领域时，我们经常遇到 LeetCode 问题，它们是算法和数据结构能力的试金石。本文将深入探讨 LeetCode 62 和 63，这两个问题都涉及机器人走不同路径的主题。我们将探讨这个问题的基本概念、各种解决方案以及一些优化技巧。

在 LeetCode 62 和 63 中，我们有一个机器人被困在一个由障碍物组成的 m x n 网格中。机器人的目标是找到从起点 (0, 0) 到终点 (m-1, n-1) 的唯一路径数。然而，机器人只能向下或向右移动。

解决此问题的经典方法是动态规划，它是一种自顶向下的方法，将问题分解成更小的子问题，并通过解决这些子问题来构建最终解。

对于此问题，我们定义状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

其中：

• dp[i][j] 表示机器人到达 (i, j) 单元格的唯一路径数
• dp[i-1][j] 表示机器人到达 (i-1, j) 单元格的唯一路径数
• dp[i][j-1] 表示机器人到达 (i, j-1) 单元格的唯一路径数

虽然动态规划提供了一种直接的方法来解决此问题，但我们可以通过以下技巧优化空间复杂度：

1. 滚动数组：

• 存储当前行和上一行的路径计数，释放上一行的内存。
• 空间复杂度：O(min(m, n))

2. 一维数组：

• 仅存储当前行的路径计数，逐行覆盖。
• 空间复杂度：O(n)

3. 常数空间：

• 使用变量 pre 和 cur 来跟踪前两行的路径计数，每次移动更新这些变量。
• 空间复杂度：O(1)

考虑以下 3x3 网格，其中 1 表示障碍物：

0 0 0
0 1 0
0 0 0

从 (0, 0) 到 (2, 2) 的唯一路径数是：

dp[0][0] = 1
dp[0][1] = 1
dp[0][2] = 1
dp[1][0] = 1
dp[1][1] = 0 (障碍物)
dp[1][2] = 1
dp[2][0] = 1
dp[2][1] = 1
dp[2][2] = 2

因此，唯一路径数为 2 。

通过探讨 LeetCode 62 和 63，我们理解了动态规划在解决路径计数问题中的力量。我们还探讨了优化空间复杂度的技巧，例如滚动数组和常数空间方法。这些问题和技术为我们提供了在更复杂的算法和数据结构问题中导航的宝贵基础。