漫谈动态规划思想在日常问题中的应用—每日一算

2023-12-09 05:42:05

问题的提出

在计算机科学领域，有一个著名的问题叫做“机器人路径问题”。在这个问题中，我们有一个大小为 m x n 的网格，网格中每个单元格要么是空的，要么是障碍物。机器人从网格的左上角开始，每次只能向右或向下移动一步，最终的目标是到达网格的右下角。在这个过程中，机器人不能穿越障碍物。

问题很简单，但解决起来却并不容易。如果我们采用暴力搜索的方法，即尝试所有的可能路径，那么对于一个大的网格，计算量将非常巨大。因此，我们需要一种更加高效的算法来解决这个问题。

动态规划的思想

动态规划是一种解决复杂问题的常用技术。它的基本思想是将问题分解成一系列较小的子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的解。

在机器人路径问题中，我们可以将问题分解成一系列子问题：

如果机器人当前位于网格的左上角，那么有多少条路径可以到达右下角？
如果机器人当前位于网格的某个其他单元格，那么有多少条路径可以到达右下角？

为了解决这些子问题，我们可以使用递归的方法。但是，递归方法存在一个问题，那就是它会重复计算许多子问题。为了避免这种情况，我们可以使用备忘录来存储已经计算过的子问题的解。

备忘录法

备忘录法是一种优化递归算法的常用技术。它的基本思想是将已经计算过的子问题的解存储在一个表中，以便以后需要时可以快速查表得到。

在机器人路径问题中，我们可以使用一个二维数组来存储备忘录。数组的第一个维度表示机器人的当前位置，第二个维度表示有多少条路径可以从机器人的当前位置到达右下角。

递推关系

一旦我们有了备忘录，就可以使用递推的方法来计算子问题的解。递推关系是一种将子问题的解与父问题的解联系起来的关系。

在机器人路径问题中，递推关系如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

其中，dp[i][j] 表示有多少条路径可以从机器人的当前位置 (i, j) 到达右下角，dp[i-1][j] 表示有多少条路径可以从机器人当前位置的上一个位置 (i-1, j) 到达右下角，dp[i][j-1] 表示有多少条路径可以从机器人当前位置的左边位置 (i, j-1) 到达右下角。

状态转移方程

状态转移方程是递推关系的具体实现。它告诉我们如何从父问题的解计算子问题的解。

在机器人路径问题中，状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

代码实现

def num_paths(grid):
  """
  计算机器人从网格的左上角到右下角的路径数。

  参数：
    grid: 一个二维数组，表示网格。

  返回值：
    机器人从网格的左上角到右下角的路径数。
  """

  # 创建备忘录
  memo = [[0 for _ in range(len(grid[0]))] for _ in range(len(grid))]

  # 初始化备忘录
  memo[0][0] = 1

  # 填充备忘录
  for i in range(len(grid)):
    for j in range(len(grid[0])):
      if grid[i][j] == 1:
        continue
      if i > 0:
        memo[i][j] += memo[i-1][j]
      if j > 0:
        memo[i][j] += memo[i][j-1]

  # 返回备忘录右下角的值
  return memo[len(grid)-1][len(grid[0])-1]