解密 0-1 背包问题：用 JavaScript 算法实现价值最大化

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2023-11-03 02:57:41

简介

0-1 背包问题是计算机科学中一个广为人知且重要的优化问题。它的核心思想是，给定一个背包和一组物品，每个物品都有特定的重量和价值，目标是找到一种方式将物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大，同时不超过背包的容量限制。

贪心算法

贪心算法是一种解决 0-1 背包问题的经典方法。它通过以下步骤在每个阶段做出局部最优选择：

按价值密度（价值/重量）对物品进行排序。
从价值密度最高的物品开始，逐个放入背包中。
如果当前物品的重量超过了背包的剩余容量，则将其从背包中移除。
重复步骤 2 和 3，直到背包已满或没有更多物品可以放入。

JavaScript 实现

以下是在 JavaScript 中实现贪心算法的代码：

function knapsack(items, capacity) {
  // 按价值密度排序物品
  items.sort((a, b) => b.value / b.weight - a.value / a.weight);

  let totalValue = 0;
  let currentWeight = 0;

  // 逐个放入物品
  for (let i = 0; i < items.length; i++) {
    if (currentWeight + items[i].weight <= capacity) {
      totalValue += items[i].value;
      currentWeight += items[i].weight;
    }
  }

  return totalValue;
}

例子

假设我们有一个背包容量为 100 公斤，以及 5 种豆子，每种豆子的重量和价值如下：

豆子	重量 (公斤)	价值 (美元)
豆子 1	20	60
豆子 2	30	100
豆子 3	40	120
豆子 4	50	150
豆子 5	10	30

使用贪心算法，我们可以找到背包中物品的最大总价值：

按价值密度排序物品：
- 豆子 4：150 / 50 = 3
- 豆子 3：120 / 40 = 3
- 豆子 2：100 / 30 = 3.33
- 豆子 1：60 / 20 = 3
- 豆子 5：30 / 10 = 3
从价值密度最高的物品开始放入：
- 豆子 2（3.33）
- 豆子 4（3）
- 豆子 3（3）
计算总价值：
- 豆子 2：100 美元
- 豆子 4：150 美元
- 豆子 3：120 美元
- 总价值：370 美元