火车通行证最优策略：最低票价详解

2023-12-29 03:17:41

朋友们，今天我们一起探索一个与火车旅行相关的有趣问题：如何购买通行证才能以最优惠的价格乘火车旅行？准备好了吗？我们出发吧！

背景介绍

在火车旅行十分盛行的国度，有一项名为“火车通行证”的特别服务，它允许你在一年内无限次乘坐火车。不过，火车通行证的费用可不便宜，因此，我们需要谨慎考虑如何购买才能最大化我们的旅行收益。

最低票价算法

为了找到购买火车通行证的最优策略，我们需要使用一种称为“动态规划”的算法。动态规划是一种自底向上的方法，它将大问题分解成更小的子问题，然后逐一解决。

在火车通行证问题中，子问题可以表述为：对于特定旅行日期的集合，购买火车通行证的最低成本是多少？我们可以使用以下公式计算：

dp[i] = min(dp[i - 1] + daily_cost, dp[i - 7] + weekly_cost, dp[i - 30] + monthly_cost)

其中：

dp[i] 表示购买火车通行证在第 i 天的最低成本
daily_cost 表示单程火车票的成本
weekly_cost 表示每周火车通行证的成本
monthly_cost 表示每月火车通行证的成本

算法步骤

动态规划算法的步骤如下：

初始化 dp 数组，其中 dp[0] = 0
对于第 i 天：
- 计算购买单程票的成本 dp[i] = dp[i - 1] + daily_cost
- 计算购买周票的成本 dp[i] = min(dp[i], dp[i - 7] + weekly_cost)
- 计算购买月票的成本 dp[i] = min(dp[i], dp[i - 30] + monthly_cost)
返回 dp[n]，其中 n 是旅行的最后一天

实例演示

假设：

单程票价：$10
周票价格：$60
月票价格：$100
旅行日期：1、4、6、7、9、11、12、14、16、18、20、21、23、27、28、30

使用动态规划算法计算，我们得到：

dp[1] = $10
dp[4] = min($20, $60, $100) = $20
dp[6] = min($30, $60, $100) = $20
dp[7] = min($40, $60, $100) = $20
dp[9] = min($50, $60, $100) = $50
dp[11] = min($60, $60, $100) = $60
dp[12] = min($70, $60, $100) = $60
dp[14] = min($80, $60, $100) = $60
dp[16] = min($90, $60, $100) = $60
dp[18] = min($100, $60, $100) = $60
dp[20] = min($110, $60, $100) = $60
dp[21] = min($120, $60, $100) = $60
dp[23] = min($130, $60, $100) = $60
dp[27] = min($140, $60, $100) = $60
dp[28] = min($150, $60, $100) = $60
dp[30] = min($160, $60, $100) = $60