揭秘全局倒置与局部倒置：破解排序难题

后端

2023-09-18 13:00:05

全局倒置与局部倒置：最小化反转次数

在编程领域，我们经常遇到需要操作序列或列表的情况，其中一个重要的概念就是倒置。倒置是指序列中元素的顺序与预期顺序不同，可以分为两种类型：全局倒置和局部倒置。

全局倒置

全局倒置 指的是序列中任何两个元素的顺序与预期顺序相反。想象一下一个数字序列，比如 [5, 3, 1, 2, 4]，其中数字应该按照从小到大的顺序排列。如果我们交换序列中的两个数字，比如将 3 和 5 交换，就会产生一个全局倒置。

局部倒置

局部倒置 则是指相邻元素的顺序与预期顺序相反。在上面的示例序列中，如果我们只交换相邻的数字，比如将 3 和 1 交换，就会产生一个局部倒置。

问题背景

现在假设我们有一个长度为 n 的序列 p，由 1 到 n 的数字组成。我们的目标是通过一系列操作将序列 p 转变为一个全局有序 的序列，同时最小化局部倒置 的次数。

解题思路

要解决这个问题，关键在于理解全局倒置和局部倒置之间的关系。全局有序意味着序列中不存在任何全局倒置，而局部倒置次数最少意味着尽可能保留序列的原始顺序。

一种直观的方法是，先将序列 p 转换为全局有序的序列 q。然后，我们只需要计算 p 和 q 之间的局部倒置次数，这将是我们需要执行的最少操作次数。

为了将序列 p 转换为 q，我们可以使用冒泡排序或归并排序。然而，为了最小化局部倒置次数，我们需要对排序过程进行一些调整。

具体来说，在排序过程中，当我们遇到一个元素 i 应该移动到比它当前位置更前面的位置时，我们应该尽可能地将它移动到最前面的位置。这将最大程度地减少局部倒置次数，因为元素 i 将不会越过任何其他元素。

代码实现

以下是用 Python 实现的最小化局部倒置次数算法：

def min_local_inversions(p):
    # 将 p 转换为全局有序的序列 q
    q = sorted(p)

    # 计算 p 和 q 之间的局部倒置次数
    local_inversions = 0
    for i in range(len(p)):
        if p[i] != q[i]:
            j = q.index(p[i])
            local_inversions += j - i
            q[i:j+1] = reversed(q[i:j+1])

    return local_inversions