文心一言 VS ChatGPT：算法导论 3.2 第 4~5 题

文心一言

对于第一个问题，函数 \lceil \lg n \rceil ! 多项式有界吗？我们知道 \lg n \leq n，因此 \lceil \lg n \rceil ! \leq n!。由于 n! 是多项式有界的，因此 \lceil \lg n \rceil ! 也是多项式有界的。

对于第二个问题，函数 \lceil \lg \lg n \rceil ! 多项式有界吗？我们知道 \lg \lg n \leq \lg n，因此 \lceil \lg \lg n \rceil ! \leq \lceil \lg n \rceil !。由于我们已经证明 \lceil \lg n \rceil ! 是多项式有界的，因此 \lceil \lg \lg n \rceil ! 也是多项式有界的。

ChatGPT

对于第一个问题，函数 \lceil \lg n \rceil ! 多项式有界吗？我们可以使用斯特林公式来证明它是多项式有界的。斯特林公式指出：

因此：

由于 \lceil \lg n \rceil 是常数，因此 \sqrt{2\pi \lceil \lg n \rceil} 和 \frac{\lceil \lg n \rceil}{e} 都是常数。因此，\lceil \lg n \rceil ! 是多项式有界的。

对于第二个问题，函数 \lceil \lg \lg n \rceil ! 多项式有界吗？我们也可以使用斯特林公式来证明它是多项式有界的。斯特林公式指出：

因此：

由于 \lceil \lg \lg n \rceil 是常数，因此 \sqrt{2\pi \lceil \lg \lg n \rceil} 和 \frac{\lceil \lg \lg n \rceil}{e} 都是常数。因此，\lceil \lg \lg n \rceil ! 是多项式有界的。