剖析LeetCode——二分图剖析与实现

2023-12-06 14:26:27

引言

在计算机科学的图论领域，二分图是一个特殊类型的无向图。在这类图中，顶点可以被划分为两个不相交的集合，并且两个集合中的任意两个顶点之间都没有边。也就是说，二分图中的边只能连接不同集合中的顶点。二分图在现实生活中有很多应用，例如调度问题、网络流问题和着色问题等。

二分图的性质

二分图具有以下几个性质：

一个图是二分图当且仅当图中不包含奇数环。
一个图是二分图当且仅当图中所有环的长度都是偶数。
一个图是二分图当且仅当图中没有两个顶点具有相同的邻接点。

二分图的算法实现

判断一个图是否是二分图，并将其划分为两个不相交的集合，可以使用以下算法：

深度优先搜索（DFS）算法：

def is_bipartite(graph):
  """
  判断一个无向图是否是二分图。

  参数：
    graph: 一个无向图，表示为邻接表。

  返回：
    如果图是二分图，返回True；否则，返回False。
  """

  # 初始化图的染色数组
  colors = [-1] * len(graph)

  # 对每个未染色的顶点进行深度优先搜索
  for i in range(len(graph)):
    if colors[i] == -1:
      if not dfs(graph, i, colors):
        return False

  return True


def dfs(graph, v, colors):
  """
  对一个顶点进行深度优先搜索，并给其染色。

  参数：
    graph: 一个无向图，表示为邻接表。
    v: 要搜索的顶点。
    colors: 一个数组，记录每个顶点的颜色。

  返回：
    如果图是二分图，返回True；否则，返回False。
  """

  # 给顶点v染色
  colors[v] = 0

  # 对顶点v的每个邻接点进行深度优先搜索
  for u in graph[v]:
    # 如果顶点u未染色，则给其染色
    if colors[u] == -1:
      if not dfs(graph, u, colors):
        return False
    # 如果顶点u已染色，且与顶点v的颜色相同，则图不是二分图
    elif colors[u] == colors[v]:
      return False

  # 如果图是二分图，则返回True
  return True

广度优先搜索（BFS）算法：

def is_bipartite(graph):
  """
  判断一个无向图是否是二分图。

  参数：
    graph: 一个无向图，表示为邻接表。

  返回：
    如果图是二分图，返回True；否则，返回False。
  """

  # 初始化图的染色数组
  colors = [-1] * len(graph)

  # 对每个未染色的顶点进行广度优先搜索
  for i in range(len(graph)):
    if colors[i] == -1:
      if not bfs(graph, i, colors):
        return False

  return True


def bfs(graph, v, colors):
  """
  对一个顶点进行广度优先搜索，并给其染色。

  参数：
    graph: 一个无向图，表示为邻接表。
    v: 要搜索的顶点。
    colors: 一个数组，记录每个顶点的颜色。

  返回：
    如果图是二分图，返回True；否则，返回False。
  """

  # 创建一个队列，用于广度优先搜索
  queue = [v]

  # 给顶点v染色
  colors[v] = 0

  # 循环执行广度优先搜索
  while queue:
    # 出队一个顶点
    v = queue.pop(0)

    # 对顶点v的每个邻接点进行广度优先搜索
    for u in graph[v]:
      # 如果顶点u未染色，则给其染色
      if colors[u] == -1:
        colors[u] = 1 - colors[v]
        queue.append(u)
      # 如果顶点u已染色，且与顶点v的颜色相同，则图不是二分图
      elif colors[u] == colors[v]:
        return False

  # 如果图是二分图，则返回True
  return True