在数组中寻找相邻最小元素：动态规划方法详解

python

2024-03-05 01:27:18

在数组中寻找相邻最小元素：动态规划法

在解决实际问题时，寻找相邻元素中的最小值是一个常见的任务。它在贪心算法、图论和计算几何等领域中都有着广泛的应用。本文将探讨一种动态规划方法，该方法可以有效地找到相邻元素的最小成本，并返回所选元素的序列。

问题陈述

给定一个包含至少两个元素的整数数组，我们需要以最小的成本选择每个相邻元素对中的至少一个元素。成本定义为所选元素的值。我们的目标是找到最小成本和所选元素的序列。

示例

考虑数组 [50, 30, 40, 60, 10, 30, 10]。

对于元素对 (50, 30)，我们选择 30。
对于元素对 (30, 40)，我们选择 30。
对于元素对 (40, 60)，我们选择 40。
对于元素对 (60, 10)，我们选择 10。
对于元素对 (10, 30)，我们选择 10。

我们的总成本为 30 + 30 + 40 + 10 + 10 = 90。

动态规划解决方案

动态规划提供了一种有效解决此问题的途径。

1. 定义辅助数组

我们定义一个辅助数组 min_cost，其中 min_cost[i] 表示以数组前 i 个元素结尾的最小成本。

2. 计算辅助数组

对于每个索引 i，我们考虑以下两个选择：

选择第 i 个元素（即 arr[i]）。最小成本为 min_cost[i-1] + arr[i]。
跳过第 i 个元素（即 arr[i]）。最小成本为 min_cost[i-2]。

我们选择具有最小成本的选项并将其存储在 min_cost[i] 中。

3. 确定最小成本

一旦我们计算了 min_cost 数组，我们就可以在 min_cost[-1] 和 min_cost[-2] 中找到最小成本。

4. 确定所选元素的序列

为了返回所选元素的序列，我们可以使用另一个辅助数组 selected，其中 selected[i] 表示索引 i 处的元素是否被选择。

从后往前遍历 min_cost 数组，对于每个索引 i，我们执行以下操作：

如果 min_cost[i] == min_cost[i-1] + arr[i]，则将 selected[i] 设置为 True。
否则，将 selected[i] 设置为 False。

这样，selected 数组将指示所选元素的序列。

代码实现

def find_min_adjacent_elements(arr):
    # 初始化辅助数组
    min_cost = [0] * len(arr)
    selected = [False] * len(arr)

    # 计算辅助数组
    min_cost[0] = arr[0]
    min_cost[1] = arr[1]
    for i in range(2, len(arr)):
        choice1 = min_cost[i-1] + arr[i]
        choice2 = min_cost[i-2] + arr[i]
        min_cost[i] = min(choice1, choice2)

    # 确定最小成本
    min_cost = min(min_cost[-1], min_cost[-2])

    # 确定所选元素的序列
    i = len(arr) - 1
    while i >= 0:
        if min_cost[i] == min_cost[i-1] + arr[i]:
            selected[i] = True
            i -= 1
        i -= 1

    # 返回结果
    return min_cost, [arr[i] for i in range(len(arr)) if selected[i]]