最佳路径——通往礼物最大价值之路

闲谈

2023-12-16 11:35:32

礼物最大价值：剑指 Offer 的动态规划经典

踏上礼品迷宫的寻宝之旅，运用动态规划的智慧，解锁礼物的最大价值！

问题剖析：礼品迷宫的价值之路

想象一座充满珍宝的迷宫，每件礼物都闪耀着独特的价值。你的任务是从左上角出发，一路收集礼物，到达右下角，同时最大化礼物的总价值。但迷宫的规则是残酷的，你只能沿水平或垂直方向前行，不可回头。

动态规划：步步为营，价值最大化

动态规划，一种化繁为简的利器，将问题分解成更小的子问题，逐步求解，最终得到最优解。

1. 子问题：

将迷宫划分为网格，每个单元格代表一件礼物的价值。我们的目标是找到从起点到终点的一条路径，使我们获得的礼物总价值最大化。

2. 动态规划方程：

我们定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从起点到位置 (i, j) 的最优路径的礼物总价值。我们可以通过以下方程计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

3. 边界条件：

dp[0][0] = grid[0][0]
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

4. 计算顺序：

从左上角到右下角，按照顺序计算 dp 数组。

5. 追溯最优路径：

计算出 dp 数组后，我们可以通过追溯最大价值来找到最优路径。

代码实现：

def max_value(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

    return dp[m-1][n-1]


def print_path(grid, dp):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    path = [(m-1, n-1)]

    while m > 0 or n > 0:
        if m > 0 and dp[m-1][n] == dp[m][n] - grid[m][n]:
            path.append((m-1, n))
            m -= 1
        elif n > 0 and dp[m][n-1] == dp[m][n] - grid[m][n]:
            path.append((m, n-1))
            n -= 1

    return path[::-1]

grid = [[1, 3, 1],
       [1, 5, 1],
       [4, 2, 1]]

max_value = max_value(grid)
print(f"最大礼物价值为：{max_value}")

path = print_path(grid, dp)
print("最佳路径：", path)