解密力扣第120题：精通三角形最小路径和！

2023-11-15 01:00:32

算法竞赛高手汇聚之地——力扣，众多难题备受关注，其中也不乏经典之作，例如第120题《三角形最小路径和》。这是一道颇具挑战性的问题，它不仅考验你的算法思维，也考察了你对细节的把控能力。

为了让你能够直面挑战，我将用最直白、最容易理解的方式带你攻克这个难题，希望你能够举一反三，并在其他题目中灵活运用。

题目解读：

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一层三角形的数字只能从上一层的两个数字中选择一个。

例如：
triangle = [[2],
           [3, 4],
          [6, 5, 7],
         [4, 1, 8, 3]]

输出：11

解释：从顶部选择 2，下一层选择 3，下一层选择 5，最后选择 1，最小路径和为 11。（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）

动态规划算法：

力扣第120题的本质是一道动态规划问题。动态规划算法是一种将大问题分解成一系列小问题，然后逐步解决这些小问题，最终得到大问题的解。动态规划算法通常由以下几个步骤组成：

明确子问题： 将大问题分解成一系列较小的问题，这些子问题通常具有相似的结构。
存储子问题的解： 在解决子问题时，将子问题的解存储起来，以备后用。这将避免重复计算相同的子问题。
利用子问题的解来解决大问题： 通过组合子问题的解，可以逐步解决大问题。

解题步骤：

定义状态： 令dp[i][j]表示从三角形的顶点到第i行第j列的最小路径和。
初始化： 对于第0行，dp[0][0]显然等于triangle[0][0]。
状态转移方程： 对于第i行第j列，dp[i][j]可以由以下两种情况得到：
- 从dp[i-1][j-1]转移过来：这种情况下，我们选择上一行的左边数字。
- 从dp[i-1][j]转移过来：这种情况下，我们选择上一行的右边数字。
因此，dp[i][j]的计算公式为：
```
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
```
边界条件： 对于每一行，我们只需要计算到该行的最后一个元素。

示例解析：

我们以题目中的例子来演示一下算法的运行过程：

triangle = [[2],
           [3, 4],
          [6, 5, 7],
         [4, 1, 8, 3]]

初始化：

dp[0][0] = 2

状态转移：

dp[1][0] = min(dp[0][0]) + triangle[1][0] = 2 + 3 = 5
dp[1][1] = min(dp[0][0]) + triangle[1][1] = 2 + 4 = 6

继续状态转移，直至最后一层：

dp[2][0] = min(dp[1][0], dp[1][1]) + triangle[2][0] = 5 + 6 = 11
dp[2][1] = min(dp[1][0], dp[1][1]) + triangle[2][1] = 5 + 5 = 10
dp[2][2] = min(dp[1][1], dp[1][2]) + triangle[2][2] = 6 + 7 = 13

dp[3][0] = min(dp[2][0], dp[2][1]) + triangle[3][0] = 11 + 4 = 15
dp[3][1] = min(dp[2][0], dp[2][1]) + triangle[3][1] = 11 + 1 = 12
dp[3][2] = min(dp[2][1], dp[2][2]) + triangle[3][2] = 10 + 8 = 18
dp[3][3] = min(dp[2][2], dp[2][3]) + triangle[3][3] = 13 + 3 = 16