BFPRT 优化加持，快速选择算法更上层楼

2023-12-24 15:39:17

快速选择算法，又称随机化选择算法，是一种优秀的筛选算法。它能够快速地找到一个数组中第K大的元素，时间复杂度为 O(n)，在实践中非常实用。

快速选择算法的工作原理

快速选择算法的核心思想是分而治之。它通过随机选择一个枢轴值，将数组划分为左右两个部分，然后递归地对左右两个部分重复此过程，直到找到第K大的元素。

首先，随机选择一个枢轴值。
将数组划分为左右两个部分：左边部分包含小于或等于枢轴值的元素，右边部分包含大于枢轴值的元素。
如果K等于枢轴值的下标，则枢轴值就是我们要找的元素，算法结束。
否则，如果K小于枢轴值的下标，则在左边部分递归地调用快速选择算法，K仍然等于K。
否则，如果K大于枢轴值的下标，则在右边部分递归地调用快速选择算法，K减去枢轴值的下标。

快速选择算法的伪代码如下：

function quick_select(array, k):
    # 如果数组为空或者k值不合法，返回一个错误
    if array is empty or k <= 0 or k > array.length:
        return "Error: Invalid input."

    # 将数组划分为左右两部分
    pivot = array[random.randint(0, array.length - 1)]
    left_partition = []
    right_partition = []
    for element in array:
        if element < pivot:
            left_partition.append(element)
        elif element > pivot:
            right_partition.append(element)

    # 如果k等于枢轴值的下标，返回枢轴值
    if k == len(left_partition) + 1:
        return pivot

    # 如果k小于枢轴值的下标，则在左边部分递归地调用快速选择算法
    elif k < len(left_partition) + 1:
        return quick_select(left_partition, k)

    # 如果k大于枢轴值的下标，则在右边部分递归地调用快速选择算法
    else:
        return quick_select(right_partition, k - len(left_partition) - 1)

BFPRT算法优化

快速选择算法在最坏情况下，时间复杂度为O(n^2)，最优情况下，时间复杂度为O(n)，平均时间复杂度为O(n)。如果我们能对算法进行优化，使它在最坏情况下也能达到O(n)的时间复杂度，那就更好了。

BFPRT算法就是一种优化后的快速选择算法，它通过在划分数组时使用一种特殊的枢轴值选择策略来降低算法最坏情况下的时间复杂度。BFPRT算法的伪代码如下：

function bfprt(array, k):
    # 如果数组为空或者k值不合法，返回一个错误
    if array is empty or k <= 0 or k > array.length:
        return "Error: Invalid input."

    # 将数组划分为五个子数组，每个子数组包含五个数
    subarrays = []
    for i in range(0, len(array), 5):
        subarrays.append(array[i:i+5])

    # 对每个子数组选择一个中位数
    medians = []
    for subarray in subarrays:
        medians.append(quick_select(subarray, 3))

    # 对中位数应用BFPRT算法，找到中位数的中位数
    median_of_medians = bfprt(medians, 3)

    # 将数组划分为左右两部分
    left_partition = []
    right_partition = []
    for element in array:
        if element < median_of_medians:
            left_partition.append(element)
        elif element > median_of_medians:
            right_partition.append(element)

    # 如果k等于枢轴值的下标，返回枢轴值
    if k == len(left_partition) + 1:
        return median_of_medians

    # 如果k小于枢轴值的下标，则在左边部分递归地调用BFPRT算法
    elif k < len(left_partition) + 1:
        return bfprt(left_partition, k)

    # 如果k大于枢轴值的下标，则在右边部分递归地调用BFPRT算法
    else:
        return bfprt(right_partition, k - len(left_partition) - 1)