灵光乍现！巧妙构造 761. 特殊的二进制序列

导语

在计算机科学领域，二进制是数字信息存储和传输的基础。它使用 0 和 1 两个数字来表示数据，其简洁性使得它成为计算机处理信息的理想选择。在 LeetCode 上，有一道颇具挑战性的难题——761. 特殊的二进制序列，它要求你构造一个特殊的二进制序列，满足特定条件。

题目剖析

题目如下：

给定一个非负整数 n，请你构造一个长度为 n 的二进制序列，满足以下条件：

• 序列中不能包含三个连续的 1。
• 序列中至少有一个 0。

你必须返回满足条件的所有二进制序列的数目。

解题思路

面对这样的难题，我们可以从以下几个方面入手：

动态规划 ：

利用动态规划的思想，将问题分解成一系列子问题。不妨设 f(n) 表示长度为 n 且满足条件的二进制序列的数目。那么，我们可以利用以下递推公式来计算 f(n)：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)

其中，f(n-1) 表示长度为 n-1 且满足条件的二进制序列的数目，f(n-2) 表示长度为 n-2 且满足条件的二进制序列的数目，f(n-3) 表示长度为 n-3 且满足条件的二进制序列的数目。

边界条件 ：

由于题中要求至少有一个 0，因此 f(1) = 1，f(2) = 2。

求解过程 ：

根据上述递推公式和边界条件，我们可以逐步求解出 f(n) 的值。例如：

• f(3) = f(2) + f(1) + f(0) = 2 + 1 + 1 = 4
• f(4) = f(3) + f(2) + f(1) = 4 + 2 + 1 = 7

以此类推，我们可以计算出任意 n 的 f(n) 值。

代码实现 ：

def count_binary_sequences(n):
  # 初始化动态规划表
  f = [0] * (n + 1)
  # 设置边界条件
  f[1] = 1
  f[2] = 2
  # 计算动态规划表
  for i in range(3, n + 1):
    f[i] = f[i-1] + f[i-2] + f[i-3]
  # 返回结果
  return f[n]

复杂度分析 ：

时间复杂度：O(n)，其中 n 为给定的非负整数。
空间复杂度：O(n)，其中 n 为给定的非负整数。

结语

通过本文对 761. 特殊的二进制序列 的深入剖析，我们掌握了利用动态规划巧妙构造满足条件的二进制序列的方法。希望这篇文章能够帮助你在解决类似的难题时游刃有余。如果你有更多关于此题的见解或疑问，欢迎在评论区留言，让我们共同探索算法的奥秘。