用动态规划解决 leetcode 中的「最长有效括号」难题

2024-02-24 01:27:12

最长有效括号：破解破解括号匹配的奥秘

序幕：理解问题本质

在「最长有效括号」难题中，我们被赋予一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，目标是找到字符串中最长的有效括号子串。所谓有效括号子串，是指左括号 '(' 和右括号 ')' 成对出现，且满足这样的条件：每个左括号都与它右侧的第一个右括号匹配。

例如，在字符串 "(()())" 中，最长的有效括号子串是 "()()"。而在字符串 "((()))))" 中，最长的有效括号子串是 "()()()”。

第一幕：动态规划的闪亮登场

动态规划是一种强大的算法范式，非常适合解决这类子问题相互重叠的问题。在「最长有效括号」难题中，我们可以定义一个状态 dp[i]，其中 i 表示字符串的索引，dp[i] 表示从字符串的开头到索引 i 为止的最长有效括号子串的长度。

然后，我们可以根据以下状态转移方程来计算 dp[i]：

如果 s[i] 为 '('，则 dp[i] = 0，因为左括号本身不能构成有效括号子串。
如果 s[i] 为 ')'，则有两种情况：
- 如果 s[i-1] 为 '('，则 dp[i] = dp[i-2] + 2，因为我们找到了一个新的有效括号子串。
- 如果 s[i-1] 为 ')’，则我们需要检查 s[i-1] 之前的括号是否匹配。如果匹配，则 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + 2，因为我们找到了一个新的更长的有效括号子串。否则，dp[i] = 0。

第二幕：代码片段的闪亮登场

def longestValidParentheses(s):
  """
  :type s: str
  :rtype: int
  """
  n = len(s)
  dp = [0] * n

  max_length = 0
  for i in range(1, n):
    if s[i] == ')':
      if s[i-1] == '(':
        dp[i] = dp[i-2] + 2
      elif i - dp[i-1] > 0 and s[i-dp[i-1]-1] == '(':
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-dp[i-1]-2] + 2

    max_length = max(max_length, dp[i])

  return max_length