用LeetCode-409:寻找最长回文串，提升你的算法技巧

回文探秘：LeetCode-409 算法详解

动态规划：通往回文之巅的阶梯

在算法竞技场中，LeetCode-409 挑战我们寻找给定字母序列中最长的回文串。回文串是一种正读反读都相同的字符串，如 "racecar" 或 "level"。

破解这一难题的利器便是动态规划算法。它将问题分解成一系列子问题，逐步求解，最终汇聚成全局最优解。

假设字符串为 s，长度为 n。我们创建一张二维表 dp，其中 dp[i][j] 表示子字符串 s[i:j+1] 是否为回文串。

子问题的定义：

• 当 i=j 时，dp[i][j] = True，因为任何单个字符都是回文串。
• 当 j-i=1 时，dp[i][j] = (s[i]==s[j])，即相邻字符相同。
• 当 j-i>1 时，dp[i][j] = (s[i]==s[j]) && dp[i+1][j-1]，即相邻字符相同且子串 s[i+1:j] 为回文串。

递推公式：

dp[i][j] =
    if i==j:
        True
    elif j-i==1:
        s[i]==s[j]
    else:
        s[i]==s[j] && dp[i+1][j-1]

回溯路径：

求得 dp 表后，我们可以通过回溯，找到最长回文串的构成过程。从 dp[0][n-1] 开始，若 dp[i][j]=True，则将 s[i] 和 s[j] 加入结果串，并继续回溯 dp[i+1][j-1]。

代码实现：

def longest_palindrome(s):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    max_len = 0
    start = 0

    # 填充dp表
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
    for i in range(n-1):
        dp[i][i+1] = s[i] == s[i+1]

    # 递推求解
    for k in range(2, n):
        for i in range(n-k):
            j = i + k
            dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and dp[i+1][j-1]

            # 更新最长回文串
            if dp[i][j] and k > max_len:
                max_len = k
                start = i

    # 回溯构成过程
    result = ""
    i, j = start, start + max_len - 1
    while i <= j:
        result += s[i]
        i += 1
        j -= 1

    return result

进阶拓展：算法之美

掌握了寻找最长回文串的算法后，不妨更进一步，探索它的变种问题：

• 最长回文子序列： 寻找字符串中最长的回文子序列，而不必相邻。
• 最长回文子串变位词： 在给定字符串中寻找任意变位词构成的最长回文子串。

算法世界无穷无尽，让我们乘风破浪，勇往直前，不断提升我们的算法思维和编程技巧！

常见问题解答

1. 什么是回文串？

   • 正读反读都相同的字符串，如 "racecar" 或 "level"。

2. 动态规划算法如何破解回文串问题？

   • 分解问题为子问题，逐步求解，最终汇聚成全局最优解。

3. 为什么 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]？

   • 只有相邻字符相同时，且子串 s[i+1:j] 为回文串时，dp[i][j] 才为回文串。

4. 如何回溯最长回文串的构成过程？

   • 从 dp[0][n-1] 开始，若 dp[i][j]=True，则将 s[i] 和 s[j] 加入结果串，并继续回溯 dp[i+1][j-1]。

5. 除了最长回文子串外，还有哪些回文串变种问题？

   • 最长回文子序列、最长回文子串变位词等。