动态编程算法：「前端刷题」122. 买卖股票的最佳时机 II（中等难度）

引言

在充满活力的金融市场中，投资者总是在寻求利用价格波动的最佳时机来获取利润。在本文中，我们将深入探讨「买卖股票的最佳时机 II」，一个经典的动态编程问题，它展示了如何在股票价格的起伏变动中最大化收益。

问题陈述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示股票在第 i 天时的价格。你的目标是找到一个买卖股票多次，且最终获得最大利润的策略。允许你持有股票任意天数。注意，你不能同时持有和出售股票。

动态编程解法

要解决这个问题，我们将采用动态编程的方法。假设 dp[i][j] 表示在第 i 天持有 j 股股票的最大利润。我们有两种选择：

1. 持有股票：

dp[i][j] = dp[i-1][j]

2. 卖出股票：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + prices[i], dp[i-1][j])

• dp[i-1][j-1] + prices[i]：表示在第 i-1 天持有 j-1 股股票，然后在第 i 天卖出 1 股，获得的利润。
• dp[i-1][j]：表示在第 i-1 天持有 j 股股票，然后在第 i 天继续持有，利润保持不变。

初始化

• dp[0][0] = 0：表示在第 0 天持有 0 股股票，利润为 0。
• dp[0][j] = -prices[0] * j（j > 0）：表示在第 0 天持有 j 股股票，需要付出购买成本。

最终结果

要找到最大利润，我们需要找到所有可能的最终状态 dp[i][j]（i = n-1，j = 0~n）中的最大值，其中 n 是股票价格数组 prices 的长度。

示例

对于输入 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4]，动态编程算法会得到以下收益表：

i	j	dp[i][j]
0	0	0
1	0	-7
1	1	-6
2	0	-7
2	1	-2
2	2	3
3	0	-7
3	1	-4
3	2	2
3	3	6
4	0	-7
4	1	-1
4	2	4
4	3	8
4	4	12

因此，最大利润为 12，可以在第 2 天买入股票，第 4 天卖出。

总结

通过使用动态编程算法，我们可以有效地解决「买卖股票的最佳时机 II」问题，从而在股票价格的波动中获得最大利润。这种算法不仅适用于该特定问题，还为解决其他类似的优化问题提供了通用框架。

面向未来的展望

了解了这个经典的动态编程算法后，你可以深入研究更复杂的股票交易问题，例如「买卖股票的最佳时机 III」和「买卖股票的最佳时机 IV」，以进一步提升你的算法技能和对金融市场的理解。