算法巧思，轻松拿下最小路径和

后端

2024-01-12 16:27:13

64. 最小路径和：动态规划的艺术

在算法的浩瀚海洋中，总有一些题目令人眼前一亮，激发我们的思考，让我们在解题的过程中不断精进。今天，我们来共同探讨 LeetCode 上的经典题目——64. 最小路径和 。

题目

我们给定一个由非负整数构成的 m x n 矩阵，代表一个从左上角到右下角的网格。在该网格中，从左上角到右下角的每个单元格都代表一个必须经过的障碍物。网格中的每个单元格的值表示通过该单元格所需的额外费用。

我们的目标是找到一条从左上角到右下角的路径，使得该路径上的总费用最小。

解题思路

乍一看，这道题似乎是一道典型的动态规划问题。动态规划是一种强大的算法设计范式，它将问题分解成子问题，并存储子问题的解，以避免重复计算。

对于最小路径和问题，我们不妨从动态规划的角度思考一下。

设 dp[i][j] 表示从左上角走到第 i 行第 j 列的最小路径和。根据动态规划的一般套路，我们可以得到如下递推公式：

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

其中，grid[i][j] 表示第 i 行第 j 列的单元格值。

然而，细心观察，我们不难发现这个递推公式有一个潜在问题。如果我们按照这个递推公式进行计算，会导致我们每次只能向右或者向下移动一格。这显然不符合我们寻找最小路径和的要求，因为我们可能需要经过多个单元格才能到达右下角。

优化思路

为了解决这个问题，我们需要对递推公式进行优化。我们不再限制每次只能向右或者向下移动一格，而是考虑所有可能的路径，并选择其中费用最小的路径。

具体来说，我们修改后的递推公式如下：

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + grid[i][j]

在这个公式中，我们额外考虑了从左上角走到第 i 行第 j 列之前一格的最小路径和 dp[i - 1][j - 1]。这样，我们就可以选择从三个方向中经过的路径中最小的一条。

代码实现

Python 代码实现如下：

def min_path_sum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + grid[i][j]

    return dp[m - 1][n - 1]