剖析斐波那契数列的奥秘：揭开最长子序列的长度之谜

2024-01-10 13:38:42

斐波那契子序列的奥秘：动态规划揭晓最长序列

斐波那契数列以其令人着迷的模式而闻名，而寻找最长斐波那契子序列则是算法领域的一块试金石。在这个神秘的探险中，我们将携手揭开斐波那契子序列的奥秘，并掌握动态规划这一利器。

斐波那契数列的魅力

斐波那契数列是一个无穷数列，其每一项都由前两项之和构成。以 0 和 1 为初始项，斐波那契数列的展开如下：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

斐波那契数列在自然界和数学中都扮演着至关重要的角色，从植物的叶脉排列到黄金分割率，无处不在。

斐波那契子序列

斐波那契子序列是斐波那契数列中连续的一段子序列。例如，在数列[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8]中，[2, 3, 5]就是一个斐波那契子序列。

最长斐波那契子序列的难题

我们的目标是找出给定数组中的最长斐波那契子序列。这一难题乍看之下似乎艰巨，但有了动态规划的加持，我们将轻松化繁为简。

动态规划：解题利器

动态规划是一种算法设计范式，它将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终求解原始问题。在这个谜题中，我们将使用动态规划来构建一个表格，记录每个元素作为斐波那契子序列末尾元素时的最长子序列长度。

构建表格：逐步求解

我们将构建一个表格dp，其中dp[i][j]存储以nums[i]为末尾元素，以nums[j]为倒数第二元素的最长斐波那契子序列长度。我们从最简单的情况开始，即nums[i] == nums[j] == 0时，此时的最长子序列长度为 1。

dp[i][j] = 1, if nums[i] == nums[j] == 0

对于其他情况，我们将枚举所有可能的nums[j]，检查nums[j]是否等于nums[i]减去前一个斐波那契数。如果是，则我们更新dp[i][j]为max(dp[i][j], dp[j][k] + 1)，其中dp[j][k]记录了以nums[j]为末尾元素的最长斐波那契子序列长度。

代码实现

def longest_fibonacci_subsequence(nums):
  # 初始化动态规划表
  dp = [[0] * len(nums) for _ in range(len(nums))]

  # 遍历所有可能的斐波那契数对
  for i in range(len(nums)):
    for j in range(len(nums)):
      if nums[i] == nums[j] == 0:
        dp[i][j] = 1
        continue

      # 检查斐波那契关系
      diff = nums[i] - nums[j]
      if diff >= 0 and j > 0 and nums[j] == nums[j-1] + diff:
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[j][j-1] + 1)

  # 找出最长斐波那契子序列的长度
  longest = 0
  for i in range(len(nums)):
    for j in range(len(nums)):
      longest = max(longest, dp[i][j])

  return longest