打破 DFS 的限制：记忆化数组与动态规划

2024-02-29 09:51:58

深度优先搜索（DFS）是一种强大而直观的遍历算法，但其缺点在于，当需要多次访问同一个节点时，时间复杂度会呈指数级增长。为了解决这个问题，我们可以引入记忆化数组和动态规划这两个概念。

记忆化数组

记忆化数组是一种数据结构，用于存储函数调用和其结果。在 DFS 中，我们可以使用记忆化数组来记录已经访问过的节点及其状态。当我们再次访问该节点时，我们可以直接从数组中检索其状态，从而避免不必要的重复计算。

动态规划

动态规划是一种优化算法，用于解决具有重叠子问题的复杂问题。它将问题分解为更小的子问题，然后通过逐步解决这些子问题来解决整个问题。在 DFS 中，我们可以将子问题视为从当前节点到特定终点的最优路径或状态。通过动态规划，我们可以避免重复计算这些子问题，从而大大提高算法效率。

实现方法

为了在 DFS 中使用记忆化数组和动态规划，我们可以采用以下步骤：

建立记忆化数组： 创建一个数组或哈希表，其中键为节点，值为该节点到特定终点的最优路径或状态。
检查记忆化数组： 在访问一个节点之前，首先检查记忆化数组中是否存在该节点。如果存在，直接从数组中检索其状态。
更新记忆化数组： 如果节点不在记忆化数组中，则计算其状态并将其存储在数组中。
进行递归： 使用状态信息继续递归 DFS，访问未访问的节点。

示例代码

以下 Java 代码演示了如何在 DFS 中使用记忆化数组来找到图中两个节点之间的最短路径：

import java.util.HashMap;

public class DFSOpt {

    private HashMap<Node, Integer> memo;

    public int shortestPath(Node start, Node end) {
        memo = new HashMap<>();
        return shortestPathHelper(start, end);
    }

    private int shortestPathHelper(Node node, Node end) {
        if (memo.containsKey(node)) {
            return memo.get(node);
        }
        if (node == end) {
            return 0;
        }
        int minDistance = Integer.MAX_VALUE;
        for (Node neighbor : node.getNeighbors()) {
            int distance = shortestPathHelper(neighbor, end);
            if (distance != Integer.MAX_VALUE) {
                minDistance = Math.min(minDistance, distance + 1);
            }
        }
        memo.put(node, minDistance);
        return minDistance;
    }
}