剑指Offer 53-2.0～n-1中缺失的数字的优雅解答

2023-10-23 03:41:50

引言

剑指Offer 53-2.0～n-1中缺失的数字问题是LeetCode上的一道经典题。它要求您在给定一个排序递增数组的情况下，找到数组中缺失的数字。该问题看似简单，但实际上隐藏着不少细节和技巧。在这篇文章中，我们将从头开始，逐步剖析如何使用二分查找算法来解决这个问题。

问题分析

首先，我们先来分析一下这个问题。给定一个排序递增数组，数组中的数字范围是从0到n-1，但其中缺失了一个数字。我们的任务是找到这个缺失的数字。

我们可以先尝试使用暴力求解的方法，即遍历整个数组，并逐个检查数组中的数字是否缺失。如果发现缺失的数字，则将其记录下来并返回。这种方法简单直观，但它的时间复杂度为O(n)，对于大型数组来说，效率较低。

二分查找算法

为了提高效率，我们可以使用二分查找算法来解决这个问题。二分查找算法是一种高效的搜索算法，它可以将搜索空间不断缩小，从而快速找到目标元素。

二分查找算法的基本思想是：

将数组分为两半，并比较数组中间元素与目标元素的大小。
如果数组中间元素等于目标元素，则返回数组中间元素的索引。
如果数组中间元素大于目标元素，则将搜索范围缩小到数组前半部分。
如果数组中间元素小于目标元素，则将搜索范围缩小到数组后半部分。
重复步骤1-4，直到找到目标元素或搜索范围为空。

算法实现

现在，我们来看看如何将二分查找算法应用于剑指Offer 53-2.0～n-1中缺失的数字问题。

首先，我们需要定义一个函数来计算数组的中间元素的索引：

def mid_index(left, right):
  return (left + right) // 2

然后，我们需要定义一个函数来检查数组中间元素是否等于目标元素：

def is_target(arr, target, mid):
  return arr[mid] == target

最后，我们需要定义一个函数来执行二分查找算法：

def binary_search(arr, target, left, right):
  while left <= right:
    mid = mid_index(left, right)
    if is_target(arr, target, mid):
      return mid
    elif arr[mid] < target:
      left = mid + 1
    else:
      right = mid - 1
  return -1

边界处理

在实现二分查找算法时，我们需要特别注意边界处理。在剑指Offer 53-2.0～n-1中缺失的数字问题中，我们需要处理以下两种边界情况：

数组为空数组。
目标元素不在数组中。

对于第一种情况，我们可以直接返回-1来表示数组为空数组。对于第二种情况，我们可以检查数组的第一个元素和最后一个元素是否等于目标元素。如果等于，则返回相应的索引。否则，返回-1来表示目标元素不在数组中。

完整代码

def find_missing_number(arr):
  left = 0
  right = len(arr) - 1
  target = (left + right + 1) // 2

  while left <= right:
    mid = mid_index(left, right)
    if is_target(arr, target, mid):
      return mid
    elif arr[mid] < target:
      left = mid + 1
    else:
      right = mid - 1

  # 处理边界情况
  if arr[0] == target:
    return 0
  elif arr[len(arr) - 1] == target:
    return len(arr) - 1
  else:
    return -1

# 测试代码
arr = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10]
missing_number = find_missing_number(arr)
print(missing_number)  # 输出：7