动态规划算法助力解决复杂问题——浅谈其重要性

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【B站最热门的动态规划讲解】学习笔记

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学习笔记：https://www.bilibili.com/video/BV1Y64y1U7sK ## 记忆化递归 ## fib ### 一般实现 js const fib = n => { if (n < 2) return n; if (n in fib) return fib[n]; return fib[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2); };

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正文

当我们在面对复杂难题时，往往需要穷尽所有可能性来寻找最优解，这种朴素的暴力破解方法虽然简单直观，却因其巨大的计算量而难以为继。而动态规划则巧妙地利用了问题的特性，将之拆解成若干个子问题，并依次解决这些子问题，最终通过累加子问题的最优解来获得整个问题的最优解。

动态规划通常以递归的方式实现，即将原问题拆解成多个子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解组合起来得到原问题的解。为了避免重复计算，动态规划引入了一个称为记忆化的技巧，即在求解子问题时，将中间结果存储起来，以便在需要时直接使用，从而减少计算量。

在实践中，动态规划已被广泛应用于各种领域，如计算机图形学、运筹学、生物信息学、金融工程等。在计算机图形学中，动态规划可用于生成逼真的动画效果；在运筹学中，动态规划可用于解决最短路径问题、旅行商问题等经典难题；在生物信息学中，动态规划可用于序列比对、基因组装配等任务；在金融工程中，动态规划可用于期权定价、组合优化等问题。

当然，动态规划也并非万能，其对问题也有一定的适用条件。首先，问题必须具有最优子结构的性质，即问题的最优解可以通过子问题的最优解组合而成；其次，问题必须具有重叠子问题的性质，即子问题在不同的子问题中重复出现；最后，问题的子问题数量必须是有限的，否则动态规划的计算量将是巨大的。

尽管如此，动态规划的优点是显而易见的。它可以有效地解决具有最优子结构和重叠子问题的复杂问题，并且通过记忆化技巧可以减少计算量，从而提高效率。在实际应用中，动态规划已成为解决复杂问题的重要工具，为我们提供了强大的优化手段。

让我们用一个经典的例子——斐波那契数列来进一步理解动态规划。斐波那契数列是一个以0和1为起始项，每个后续项为前两项之和的序列，如0、1、1、2、3、5、8、13、21等。

使用动态规划来计算斐波那契数列的第n项，我们可以采用如下步骤：

1. 定义子问题：将原问题拆解成求解斐波那契数列第n项的子问题。
2. 寻找最优子结构：观察斐波那契数列的性质，可以发现斐波那契数列的第n项可以表示为斐波那契数列的第n-1项和第n-2项之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
3. 利用记忆化技巧：在求解子问题时，将中间结果存储起来，以便在需要时直接使用。
4. 递推求解：从斐波那契数列的起始项开始，依次求解斐波那契数列的每一项，并将结果存储起来。

通过这种方式，我们可以有效地计算斐波那契数列的每一项，并且避免了重复计算，大大提高了效率。

动态规划作为一种强大的算法工具，在解决复杂问题时展现出独特的优势。无论是计算机图形学、运筹学、生物信息学还是金融工程，动态规划的身影无处不在。其有效性、广泛的适用性和易于理解的原理使其成为各个领域不可或缺的利器。