使用 Python 进行时间序列分析——从线性模型到 GARCH 笔记（五）

时间序列分析概述

时间序列分析是一种统计方法，用于分析和预测随着时间推移而变化的数据。时间序列分析广泛应用于金融、经济、工程、医学等领域，是数据分析和预测的重要工具。

线性模型

线性模型是时间序列分析中最简单、最常用的模型之一。线性模型假设时间序列数据可以由一个或多个线性函数表示，因此线性模型又称为自回归模型（AR模型）。

ARMA 模型

ARMA 模型是线性模型的一种，它假设时间序列数据可以由一个自回归模型（AR模型）和一个移动平均模型（MA模型）组合而成。ARMA 模型可以表示为：

y(t) = c + φ(1)y(t-1) + ... + φ(p)y(t-p) + ε(t) - θ(1)ε(t-1) - ... - θ(q)ε(t-q)

其中：

• y(t) 是时间序列数据在时刻 t 的值。
• c 是常数项。
• φ(1), ..., φ(p) 是自回归系数。
• θ(1), ..., θ(q) 是移动平均系数。
• ε(t) 是白噪声，即均值为 0，方差为 σ^2 的随机变量。

ARCH 模型

ARCH 模型是另一种非线性时间序列模型，它假设时间序列数据的方差是随时间变化的。ARCH 模型可以表示为：

σ^2(t) = α(0) + α(1)ε^2(t-1) + ... + α(p)ε^2(t-p)

其中：

• σ^2(t) 是时间序列数据在时刻 t 的方差。
• α(0) 是常数项。
• α(1), ..., α(p) 是 ARCH 系数。
• ε(t) 是白噪声，即均值为 0，方差为 σ^2 的随机变量。

GARCH 模型

GARCH 模型是 ARCH 模型的一种扩展，它假设时间序列数据的方差不仅与过去时刻的误差平方有关，还与过去时刻的方差有关。GARCH 模型可以表示为：

σ^2(t) = α(0) + α(1)ε^2(t-1) + ... + α(p)ε^2(t-p) + β(1)σ^2(t-1) + ... + β(q)σ^2(t-q)

其中：

• σ^2(t) 是时间序列数据在时刻 t 的方差。
• α(0) 是常数项。
• α(1), ..., α(p) 是 ARCH 系数。
• β(1), ..., β(q) 是 GARCH 系数。
• ε(t) 是白噪声，即均值为 0，方差为 σ^2 的随机变量。

总结

时间序列分析是一种统计方法，用于分析和预测随着时间推移而变化的数据。时间序列分析广泛应用于金融、经济、工程、医学等领域，是数据分析和预测的重要工具。线性模型是时间序列分析中最简单、最常用的模型之一。ARMA 模型是线性模型的一种，它假设时间序列数据可以由一个自回归模型（AR模型）和一个移动平均模型（MA模型）组合而成。ARCH 模型是另一种非线性时间序列模型，它假设时间序列数据的方差是随时间变化的。GARCH 模型是 ARCH 模型的一种扩展，它假设时间序列数据的方差不仅与过去时刻的误差平方有关，还与过去时刻的方差有关。