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爬上数位DP这座大山，俯瞰Coding面试
闲谈
2024-02-07 00:21:22
动态规划（DP）是计算机科学中一种常用的技术，用于解决最优化问题。在过去的几年中，它在各种应用领域得到了广泛应用，其中包括图像处理、自然语言处理和机器学习。
在本文中，我们将探讨如何使用DP来解决一个常见的面试题：给定两个整数a和b，求a和b之间所有数字中0~9的出现次数。
预处理
为了避免特殊处理起点和终点的繁琐，我们可以采用预处理的方法。对于每一个数字i，我们可以预先计算出从1到i的所有数字中0~9出现的次数。这样，我们就可以直接使用预处理的结果来解决问题。
预处理的过程如下：
- 创建一个二维数组count，其中count[i][j]表示从1到i的所有数字中数字j出现的次数。
- 对于每一个数字i，从1到i遍历每一个数字j。
- 如果数字j中包含数字0，则count[i][0]++。
- 对于数字j的每一位k，如果k等于数字0，则count[i][0]++，否则count[i][k]++。
求解
预处理完成后，我们就可以使用以下公式来计算a和b之间所有数字中0~9的出现次数：
count[b][i] - count[a - 1][i]
其中count[b][i]表示从1到b的所有数字中数字i出现的次数，count[a - 1][i]表示从1到a - 1的所有数字中数字i出现的次数。
实例
例如，给定a = 1和b = 10，我们就可以使用预处理的结果来计算出从1到10的所有数字中0~9的出现次数。
| 数字 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| 4 | 2 | 4 | 2 | 2 | 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 |
| 5 | 2 | 5 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 1 |
| 6 | 3 | 6 | 3 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 4 | 1 |
| 7 | 3 | 7 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 4 | 2 |
| 8 | 4 | 8 | 4 | 4 | 5 | 3 | 4 | 4 | 5 | 2 |
| 9 | 4 | 9 | 4 | 5 | 5 | 3 | 4 | 5 | 5 | 3 |
| 10 | 5 | 10 | 5 | 5 | 6 | 3 | 4 | 5 | 6 | 3 |
因此，从1到10的所有数字中，数字0出现的次数为5，数字1出现的次数为10，依此类推。
结论
通过使用DP，我们可以高效地解决这个问题。DP是一种强大的技术，可以用来解决各种最优化问题。如果您正在准备coding面试，了解DP至关重要。
