剑指 Offer 114. 二维动态规划算法解析：最长公共子序列的奥秘

一、最长公共子序列简介

1.1 LCS 定义

最长公共子序列（LCS）问题是指，给定两个字符串 text1 和 text2，求出这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。公共子序列是指一个字符串可以由另一个字符串通过删除某些字符而得到，而公共子序列的长度就是该子序列的字符个数。例如，字符串 "abcde" 和 "ace" 的最长公共子序列是 "ace"，长度为 3。

1.2 LCS 应用

LCS 问题在计算机科学和生物信息学中有着广泛的应用，包括：

• 文本比较：LCS 算法可以用于比较两个文本的相似度，并用于文本的编辑和校对。
• 密码学：LCS 算法可以用于密码分析和密钥生成。
• 生物信息学：LCS 算法可以用于比较基因序列和蛋白质序列，并用于基因组学和蛋白质组学的研究。

二、二维动态规划算法原理

2.1 动态规划介绍

动态规划是一种解决复杂问题的有效方法。它将问题分解成一系列子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到问题的整体解决方案。动态规划算法的优点是，它只需要解决每个子问题一次，避免了重复计算，从而提高了效率。

2.2 LCS 二维动态规划算法原理

LCS 二维动态规划算法的核心思想是利用一个二维表格 dp 来记录子问题的解决方案。dp[i][j] 表示字符串 text1 的前 i 个字符和字符串 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

2.3 LCS 二维动态规划算法步骤

LCS 二维动态规划算法的具体步骤如下：

1. 初始化 dp 表：将 dp[0][j] 和 dp[i][0] 都初始化为 0，表示空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度为 0。
2. 对于 i 从 1 到 m，对于 j 从 1 到 n，计算 dp[i][j]：
   • 如果 text1[i] 等于 text2[j]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
   • 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
3. 最终，dp[m][n] 即为字符串 text1 和字符串 text2 的最长公共子序列的长度。

2.4 LCS 二维动态规划算法实例

为了更好地理解 LCS 二维动态规划算法，我们来看一个具体的实例。给定字符串 text1 = "abcde" 和字符串 text2 = "ace"，求这两个字符串的最长公共子序列。

1. 初始化 dp 表：

dp = [[0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0]]

2. 计算 dp 表：

dp[1][1] = 0
dp[1][2] = 0
dp[1][3] = 0
dp[1][4] = 0
dp[1][5] = 0

dp[2][1] = 0
dp[2][2] = 1
dp[2][3] = 0
dp[2][4] = 0
dp[2][5] = 0

dp[3][1] = 0
dp[3][2] = 1
dp[3][3] = 1
dp[3][4] = 0
dp[3][5] = 0

dp[4][1] = 0
dp[4][2] = 1
dp[4][3] = 1
dp[4][4] = 2
dp[4][5] = 0

dp[5][1] = 0
dp[5][2] = 1
dp[5][3] = 1
dp[5][4] = 2
dp[5][5] = 3

3. 最终结果：

dp[5][5] = 3，表示字符串 "abcde" 和字符串 "ace" 的最长公共子序列的长度为 3。最长公共子序列为 "ace"。

三、结语

在本文中，我们深入浅出地探讨了二维动态规划算法在求解最长公共子序列（LCS）问题中的应用。我们从LCS问题的定义和基本概念入手，逐步分析了二维动态规划算法的原理和步骤，并通过实例演示了算法的具体操作过程。通过本文，您应该对二维动态规划算法及其在LCS问题中的应用有一个全面的认识，并能够轻松解决相关问题。