万变不离其宗，框架化理解“平方数之和”难题

见解分享

2023-10-07 00:20:42

引言

算法之旅上，我们时常会遇到一些乍一看令人迷惑不解的问题，这些问题往往看似简单，却隐藏着错综复杂的数学原理。平方数之和就是这样一道难题，它考验着我们对数字和数学的理解。

深入探讨平方数之和问题

平方数之和问题要求我们找到一种方法，将一个给定的整数表示为一组平方数的和，同时使用最少的平方数。

1. 暴力解法：穷举一切可能

最直接的解决方法是采用暴力解法，即尝试所有可能的平方数组合，直到找到一个满足条件的组合。然而，这种方法的计算复杂度非常高，对于较大的整数来说，几乎是不可行的。

2. 动态规划：化繁为简，步步求解

为了解决这个问题，我们可以借助动态规划的思想。动态规划是一种将问题分解成一系列较小的子问题的技术。对于平方数之和问题，我们可以将问题分解成一系列子问题，即找到一个整数表示为一组平方数的和，同时使用最少的平方数。

动态规划的核心思想是，对于每个子问题，我们只计算一次，并将结果存储起来。这样，当我们遇到同样的子问题时，就可以直接从存储的结果中获取答案，避免重复计算。

3. 代码实现：简洁高效，一览无遗

我们可以使用动态规划算法来解决平方数之和问题，代码如下：

def min_square_sum(n):
  """
  返回整数n表示为一组平方数的和所需的最小平方数数量。

  参数：
    n: 要表示的整数。

  返回：
    整数n表示为一组平方数的和所需的最小平方数数量。
  """

  # 创建一个数组dp，用于存储子问题的解决方案。
  dp = [float('inf')] * (n + 1)

  # 将dp[0]设置为0，因为任何整数都可以表示为0个平方数的和。
  dp[0] = 0

  # 对于每个整数i从1到n，我们尝试所有可能的平方数组合，并将结果存储在dp中。
  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):
      dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)

  # 返回dp[n]，即整数n表示为一组平方数的和所需的最小平方数数量。
  return dp[n]


if __name__ == "__main__":
  # 测试函数。
  print(min_square_sum(12))  # 输出：3
  print(min_square_sum(13))  # 输出：2