顺时针旋转数组：破解旋转谜题

导言

矩阵操作在计算机科学中扮演着至关重要的角色，尤其是在图像处理和线性代数领域。其中，顺时针旋转矩阵是一项常见的操作，它涉及将矩阵中的元素以90度角进行顺时针移动。在本文中，我们将探索一种时间复杂度为 O(N²) 和空间复杂度为 O(N) 的算法，用于顺时针旋转 NxN 整数矩阵。

算法详解

我们的算法基于以下关键步骤：

1. 转置矩阵： 首先，我们将转置矩阵，即交换矩阵中的行和列元素。这将有效地将矩阵以一条对角线镜像。
2. 逆转每行： 接下来，我们将逆转矩阵的每一行。这将完成矩阵顺时针旋转90度的操作。

代码实现

以下 Python 代码实现了上述算法：

def rotate_matrix_90(matrix):
    """
    顺时针旋转 NxN 整数矩阵 90 度。

    参数：
        matrix：NxN 整数矩阵。

    返回：
        旋转后的 NxN 整数矩阵。
    """

    # 1. 转置矩阵
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(i):
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

    # 2. 逆转每行
    for row in matrix:
        row.reverse()

    return matrix

复杂度分析

时间复杂度：

• 转置矩阵需要 O(N²) 时间。
• 逆转每行需要 O(N) 时间。

因此，总的时间复杂度为 O(N²) + O(N) = O(N²)。

空间复杂度：

该算法不需要任何额外的空间，因为它直接在给定的矩阵上执行操作。因此，空间复杂度为 O(N)。

示例

考虑以下 3x3 矩阵：

[[1, 2, 3],
 [4, 5, 6],
 [7, 8, 9]]

应用我们的算法后，矩阵将顺时针旋转 90 度：

[[7, 4, 1],
 [8, 5, 2],
 [9, 6, 3]]

拓展

我们的算法可以轻松扩展到处理更大的矩阵，甚至更复杂的旋转操作。通过理解矩阵操作的基本原理，我们可以有效地解决各种与矩阵相关的挑战。

结论

顺时针旋转矩阵是矩阵操作中一项基础而重要的操作。通过使用经过优化的算法，我们可以有效地执行此操作，而无需花费大量的时间或空间资源。本文中提供的算法提供了一种直接且高效的方法来旋转 NxN 整数矩阵，使其成为图像处理、线性代数和其他应用领域的宝贵工具。

引用

• LeetCode 问题 48
• GeeksforGeeks 上的矩阵旋转