计算机图形学奠基之初：从向量到矩阵变换，入门基础轻松拿下！

2024-02-12 05:42:08

计算机图形学基础：掌握向量与矩阵变换

概述

计算机图形学中，向量和矩阵是理解几何变换的关键概念。通过深入理解这些概念，我们可以轻松驾驭图形世界的运动、旋转和缩放。

向量：表示方向和大小

向量是一种数学对象，用于方向和大小。它们通常用带箭头的字母表示，如 \overrightarrow{a}。向量可以用坐标来表示，例如 (x, y, z)。向量的长度，或大小，由毕达哥拉斯定理计算得出：\|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}。单位向量是长度为 1 的向量，可通过将向量除以其长度获得：\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{\|\overrightarrow{a}\|}。

矩阵：表示线性变换

矩阵是用于表示线性变换的数学对象。它们可以用于平移、旋转和缩放等几何变换。矩阵通常用方括号表示，如 [a_{ij}]_{m \times n}，其中 m 是行数，n 是列数，a_{ij} 是元素。矩阵可以通过转置（交换行和列）、乘法和求逆等运算来操作。

变换：移动几何对象

变换是将几何对象从一个位置移动到另一个位置的操作。常见的变换包括：

平移变换： 沿向量移动对象
旋转变换： 绕轴旋转对象
缩放变换： 按比例放大或缩小对象

复合变换：组合动作

复合变换是将多个变换组合在一起执行。例如，我们可以先旋转一个对象，然后再沿一个方向平移它。复合变换的矩阵表示法是各个变换矩阵的乘积。

代码示例：使用 NumPy 进行向量和矩阵操作

import numpy as np

# 向量
v = np.array([1, 2, 3])
print("向量：", v)
print("长度：", np.linalg.norm(v))
print("单位向量：", v / np.linalg.norm(v))

# 矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("\n矩阵 A：")
print(A)
print("\n矩阵 B：")
print(B)
print("\n转置矩阵 A：")
print(np.transpose(A))
print("\n矩阵乘法 A * B：")
print(np.dot(A, B))

# 变换
# 平移变换矩阵
T = np.array([[1, 0, 0, 1],
              [0, 1, 0, 2],
              [0, 0, 1, 3],
              [0, 0, 0, 1]])

# 应用平移变换
v_translated = np.dot(T, v)
print("\n平移后的向量：", v_translated)