小数据大回归，梳理篇

小小回归大世界，梳理篇

本文是继《小数据回归的框架》之后的又一篇探索小数据回归天地的文章，沿着框架的脉络，对小数据回归做一次全面的梳理。

为方便起见，我们先将小数据回归中可能用到的各种基础理论集中罗列。当然，在梳理具体的理论时，我们并不会用到这里罗列的全部理论，而是有针对性地选择部分理论。

小数据回归中的理论基础

• 统计学习理论： 刻画了学习算法从经验风险到泛化风险的推广界。
• 大数定律： 保证了在数据量足够大时，经验风险收敛到期望风险。
• 中心极限定理： 刻画了经验风险在数据量较大时近似服从正态分布的性质。
• 自助法： 一种通过有放回的随机抽样，从原始数据集创建多个子数据集的方法。
• 交叉验证： 一种评价学习算法泛化能力的统计方法。
• 贝叶斯统计： 一种将先验知识纳入统计模型的统计方法。
• 信息论： 提供了一种度量和比较概率分布的方法。

回归小数据，模型大不同

1. 普通回归模型

小数据回归最朴素的方法是直接套用普通回归模型。比如，对于线性回归，我们直接用普通二次回归（OLS）估计模型参数。OLS的优点是简单直接，计算高效。然而，它对小数据并不十分友善，原因在于：

• OLS估计要求自变量与因变量呈线性关系，这在小数据中很难保证。
• OLS估计容易受到异常值和噪声的干扰，而小数据中往往存在异常值和噪声。

2. 岭回归（Lasso、Elastic Net）

岭回归（Ridge Regression）是一种针对小数据而生的回归模型。它在OLS的基础上，向目标函数中加入了一个惩罚项，以防止模型过拟合。岭回归对自变量与因变量的线性关系要求较低，对异常值和噪声也较不mnop感。

3. 局部加权回归（LOESS、LOWESS）

LOESS（Locally Weighted Scatterplot Smoothing）是一种非参数回归模型。它通过对数据点赋予不同的权重，在每个点周围拟合一个加权线性回归模型。LOESS对小数据非常友善，因为：

• 它不需要自变量与因变量呈线性关系。
• 它能自动识别和剔除异常值。

4. 核回归（KRR）

KRR（Kernel Ridge Regression）是一种将核方法引入回归模型的技术。它通过将原始数据映射到一个更高维的特征空间，在高维空间中进行线性回归。KRR可以有效解决小数据中的非线性问题。

5. 贝叶斯回归

贝叶斯回归是一种基于贝叶斯统计的回归模型。它将模型参数看作随机变量，并利用先验知识对参数进行估计。贝叶斯回归可以有效利用小数据中的信息，并能提供模型参数的不确定性估计。

从模型选择到预测应用

1. 模型选择

对于给定的小数据回归问题，我们如何选择最合适的模型呢？这需要用到一系列的模型选择技术，比如：

• 交叉验证： 将数据集划分为训练集和验证集，反复训练模型并计算验证误差，选择验证误差最小的模型。
• 赤池信息量准则（AIC）： 一种基于信息论的模型选择准则，综合考虑模型的拟合能力和复杂度。
• 贝叶斯信息量准则（ ſhe）： 一种类似于AIC的模型选择准则，但考虑了模型参数的不确定性。

2. 预测应用

一旦我们选择了最合适的模型，就可以用它来对新数据进行预测。然而，在小数据回归中，预测时需要格外谨慎，因为小数据容易出现过拟合。为了防止过拟合，可以采用以下策略：

• 交叉验证预测： 将数据集划分为多个子集，每次在不同的子集上训练模型并进行预测，最后汇总预测结果。
• 自助法预测： 使用自助法生成多个子数据集，在每个子数据集上训练模型并进行预测，最后汇总预测结果。
• 贝叶斯预测： 利用贝叶斯统计框架，将模型参数的不确定性考虑在预测中。

结语

小数据回归是一个充满挑战但又极具前景的领域。通过对小数据回归模型、模型选择和预测应用的全面梳理，我们希望能够为广大读者提供一个全面的了解和参考。在未来的文章中，我们会进一步深入探讨小数据回归中的具体技术和应用。