算法连载（第四期）
2023-11-07 09:58:43
算法连载（第四期）
欢迎来到算法连载的第四期！在这期连载中，我们将深入探讨以下算法：
- 平方数之和
- 二分法查找
- 两数之和
- 最长递增子序列
- 归并排序
平方数之和
平方数之和问题是求解一个正整数是否可以表示为两个平方数之和的问题。例如，5可以表示为2² + 1²，而7不能表示为两个平方数之和。
求解平方数之和问题的方法有很多，其中一种是利用费马平方和定理。该定理指出，对于任何正整数n，如果存在两个整数a和b使得n = a² + b²，那么a和b必须都是奇数或偶数。
利用费马平方和定理，我们可以通过以下步骤求解平方数之和问题：
- 如果n是奇数，那么它不能表示为两个平方数之和。
- 如果n是偶数，那么我们可以将其表示为n = 2k。如果2k + 1是平方数，那么n可以表示为两个平方数之和。否则，它不能表示为两个平方数之和。
二分法查找
二分法查找是一种在排序数组中查找元素的有效算法。该算法通过反复将搜索区间减半来查找元素。
二分法查找的步骤如下：
- 初始化low和high变量，分别表示搜索区间的左端和右端。
- 计算mid变量，表示搜索区间的中间位置。
- 如果mid处的元素等于要查找的元素，则返回mid。
- 如果mid处的元素小于要查找的元素，则将low更新为mid + 1。
- 如果mid处的元素大于要查找的元素，则将high更新为mid - 1。
- 如果low大于或等于high，则表示元素不存在，返回-1。
- 重复步骤2到6，直到找到元素或low大于或等于high。
两数之和
两数之和问题是求解一个数组中是否存在两个元素之和等于给定目标值的问题。例如，在数组[2, 7, 11, 15]中，存在两个元素7和11之和等于目标值18。
求解两数之和问题的方法有很多，其中一种是利用哈希表。哈希表是一种数据结构，可以快速查找元素是否存在。
利用哈希表求解两数之和问题的步骤如下：
- 初始化一个哈希表，将数组中的元素作为键，并将索引作为值。
- 遍历数组中的每个元素：
- 计算目标值与当前元素之差。
- 如果差值存在于哈希表中，则返回当前元素的索引和差值的索引。
- 将当前元素及其索引添加到哈希表中。
最长递增子序列
最长递增子序列问题是求解一个数组中长度最长的递增子序列的问题。例如，在数组[10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60]中，最长递增子序列是[10, 22, 33, 50, 60]。
求解最长递增子序列问题的方法有很多，其中一种是动态规划算法。动态规划算法是一种自底向上的算法，通过保存中间结果来解决复杂问题。
利用动态规划算法求解最长递增子序列问题的步骤如下：
- 初始化一个数组dp，dp[i]表示以数组中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
- 遍历数组中的每个元素：
- 对于每个之前的元素j：
- 如果数组中第j个元素小于或等于第i个元素，则dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
- 对于每个之前的元素j：
- 返回dp数组中的最大值。
归并排序
归并排序是一种稳定的排序算法，它将数组分为较小的部分，分别对其进行排序，然后将它们合并为一个有序的数组。
归并排序的步骤如下：
- 如果数组长度小于或等于1，则返回数组。
- 将数组分为大小相等的两个部分。
- 对两个部分分别进行归并排序。
- 合并两个排序后的部分。
归并排序算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是数组的长度。
