优化时间复杂度：LeetCode #1338 巧妙解决数组大小减半问题

巧妙解决 LeetCode #1338 数组大小减半问题

简介

在 LeetCode #1338 数组大小减半问题中，你必须从一个给定的整数数组中移除元素，以使剩余元素的总和不超过数组原大小的一半。本文将探讨两种巧妙的解决方法：贪心算法（哈希表）和排序哈夫空间法。

贪心算法（哈希表）

贪心算法通过迭代地移除高频元素来巧妙地减少数组大小。

• 步骤 1： 使用哈希表统计数组中每个元素出现的次数。
• 步骤 2： 根据出现次数对哈希表中的元素进行降序排序。
• 步骤 3： 遍历排序后的哈希表，依次移除频率最高的元素。

随着高频元素的移除，数组大小将稳步减小。当剩余元素的总和低于原大小的一半时，算法停止，返回移除的元素数量。

代码示例：

def minSetSize(arr):
    freq = {}
    for num in arr:
        freq[num] = freq.get(num, 0) + 1

    sorted_freq = sorted(freq.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    total = sum(arr)
    half = total / 2
    count = 0
    removed = 0

    for num, freq in sorted_freq:
        removed += freq
        count += 1
        if removed >= half:
            break

    return count

排序哈夫空间法

排序哈夫空间法巧妙地利用数组的升序性质。

• 步骤 1： 对数组元素进行升序排序。
• 步骤 2： 计算数组原大小的一半（sum）。
• 步骤 3： 初始化两个指针 left 和 right，分别指向数组的开头和结尾。
• 步骤 4： 循环，直到 left 指针大于 right 指针：
  • 如果 left 指针指向的元素值大于 sum，则 right 指针向左移动。
  • 否则，left 指针向右移动。
• 步骤 5： 返回 left 指针指向的索引，它表示移除元素后剩余元素总和不超过 sum 的位置。

代码示例：

def minSetSize(arr):
    arr.sort()
    sum = 0
    for num in arr:
        sum += num

    half = sum / 2
    left, right = 0, len(arr) - 1

    while left <= right:
        if arr[left] > half:
            right -= 1
        else:
            left += 1

    return left

比较

• 贪心算法时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数组大小，而排序哈夫空间法时间复杂度为 O(n)。
• 贪心算法需要哈希表来存储元素频率，而排序哈夫空间法不需要。
• 在实践中，对于大型数组，贪心算法可能比排序哈夫空间法更有效，因为排序复杂度较高。

常见问题解答

1. 为什么贪心算法是解决该问题的最佳选择？
   贪心算法是一种启发式方法，通常在求解优化问题时效果良好。在本问题中，通过依次移除高频元素，贪心算法迅速减少数组大小。

2. 排序哈夫空间法背后的原理是什么？
   排序哈夫空间法将数组元素分成两部分：左侧元素总和小于一半，右侧元素总和大于一半。通过左右指针的移动，算法确定分割点，使左侧元素总和小于等于一半。

3. 这两种方法是否有其他应用？
   贪心算法和排序哈夫空间法在许多其他计算机科学问题中都有应用，包括任务调度、数据压缩和网络优化。

4. 哪种方法最适用于海量数据集？
   对于海量数据集，排序哈夫空间法更可取，因为它的时间复杂度为 O(n)。

5. 这些方法如何与其他算法相比较？
   这些方法优于暴力搜索算法，暴力搜索算法尝试所有可能的子集并计算其总和，时间复杂度为 O(2^n)。